Вольперт Виталий Айзикович
Доктор физико-математических наук
Директор междисциплинарного научного центра «Математическое моделирование в биомедицине»,
математический институт им. с.м. никольского
Математика и моделирование для исследования природных явлений.
1980
Окончил механико-математический факультет Южного федерального университета (ЮФУ, г. Ростов–на-Дону) с красным дипломом.
1986
Защитил кандидатскую диссертацию на тему «Автоволновые процессы в химически активных средах» (Phd thesis: “Autowave processes in chemically active media”).
1980 - 1991
Работал в Институте химической физики Академии наук СССР (г.Черноголовка), пройдя путь от инженера до заведующего лабораторией Макрокинетики полимеризационных процессов.
1991
Стал лауреатом Премии имени К.И. Щелкина Академии наук СССР (Schelkin prize of the Soviet Academy of Sciences).
1991
Приглашенный ученый в Курантовском институте математических наук Университета Нью-Йорка, США (Courant Institute, New York University, USA).
1991 - 1992
Научный сотрудник отдела материаловедения, Северо-западный университет, США (Research Fellow, Department of Materials Science, Northwestern University, USA).
1992 - н.в.
Работает в Национальном центре по научным исследованиям (Directeur de recherche, Centre National de la Recherche Scientifique) и Университете Лион 1 (University Lyon 1) во Франции.
1996
Защитил докторскую диссертацию на тему: «Математическая теория реакционно-диффузионных уравнений и их применение в химической физике» в Университете Лион 1 (Habilitation, “Mathematical theory of reaction-diffusion equations and their application in chemical physics”, University Lyon 1).
2004 - 2006
Заместитель директора Института Камиля Жордана, Лион, Франция).
2010 - 2012
Член совета директоров Института системной биологии и медицины, Лион, Франция.
2012 - 2018
Член совета Европейского общества теоретической и математической биологии.
2018 - н.в.
Директор междисциплинарного научного центра «Математическое моделирование в биомедицине» Математического института им. С.М. Никольского РУДН.
Преподавание
- В РУДН читает курс «Реакционно-диффузионные уравнения и приложения» аспирантам направления «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление».
- 2014-2018 гг. читал курсы по уравнениям в частных производных и математическому моделированию студентам, аспирантам на математическом факультетe в Высшей школе Куба (Ecole Normale de Kouba, Algeria) и в других учебных заведениях Алжира.
- 2017 гг. читал курсы по уравнениям в частных производных и математическому моделированию студентам, аспирантам на математическом факультете Национального технологического института Патна, Индия (National Institute of Technology Patna, India).
- 2012-2013 гг. читал курсы по уравнениям в частных производных и математическому моделированию студентам на инженерном факультете Центральной школы Лиона (Франция) Ecole Centrale de Lyon (France).
- Многократно приглашался для научных визитов и лекций в Англию, Израиль, Индию, Польшу, США, Чили и другие страны. Последние три года:
- 2018 – University of Talca (Chili), University of Warsaw (Poland), University of Tlemcen (Algeria);
- 2017 – King’s college London (UK), University of Tlemcen (Algeria), University of Talca (Chili), Baumann University Moscow (Russia), Indian Institute of Technology Patna (India);
- 2016 – University of Leiden (Netherlands), University of Talca (Chili), Institute of numerical mathematics, Moscow (Russia).
Член редколлегий журналов:
- Mathematical modelling of natural phenomena (основатель и главный редактор founder and editor-in-chief, 2006),
- Complex variables and elliptic equations (2017),
- Computation (2018),
- Computer research and modelling (2018),
- Pure and Applied Functional Analysis (2016),
- Mathematics (2019).
Наука
- Изучались эллиптические задачи в неограниченных областях. Получены условия фредгольмовости для общих эллиптических операторов в неограниченных областях. Изучены условия разрешимости линейных задач, индекс, условия разрешимости для нефредгольмовских операторов. Получены условия собственности общих нелинейных эллиптичеких операторов в неограниченных областях и построена топологическая степень.
- Исследовались реакционно-диффузионные волны, в частности, существование и устойчивость волн для монотонных и локально-монотонных систем, минимаксное представление скорости волны. Применение к различным задачам химической кинетики, популяционной динамики, биомедицины. Обобщенные бегущие волны.
- Изучались нелокальные реакционно-диффузионные уравнения и уравнения с запаздыванием. Локальная и глобальная устойчивость состояний равновесия, существование бегущих волн и обобщенных бегущих волн, бифуркации и нелинейная динамика. Приложения к различным задачам популяционной динамики и биомедицины.
- Исследовались волны в горении и химической кинетике, существование, устойчивость, бифуркации, нелинейная динамика. Изучались тепловой взрыв с конвекцией, условия теплового взрыва, влияние конвекции, пространственно-временные структуры, колебательный теплвой взрыв, тепловой взрыв в пористой среде.
- Исследовались существование, устойчивость, скорость распространения, нелинейная динамика волн фронтальной полимеризации. Технология производства поли-епсилон-капролактама на основе фронтальной полимеризации. Изучалось влияние конвекции на распространение волн фронтальной полимеризации. Низкотемепратурные волны, сопровождающиеся разрушением твердого тела.
- Исследовались межфазные и капиллярные явления в смешивающихся жидкостях, подготовка экспериментов на международной космической станции.
- Математическое моделирование атеросклероза. Разработаны модели атеросклероза как хронического воспаления стенок артерий. Исследовалось развитие атеросклероза в зависимости от содержания холестерина. Развитие атеросклероза как реакционно-диффузионная волна. Исследовалось существование и устойчивость волн в одномерной постановке и в двумерной постановке с нелинейными граничными условиями. Взаимодействие атетосклеротической бляшки с потоком.
- Свертываемость крови и сопутствующие заболевания. Различные режимы свертываемости крови и условия их реализации. Свертываемость крови как реакционно-диффузионная волна. Существование, устойчивость и скорость распространения. Начальные условия для инициации свертываемости и существование решения в виде стционарного пульса. Влияние различных факторов на свертываемость: течение крови, тромбоциты, воспаление. Тромбоз и кровотечения. Идентификация пациентов с гемофилией.
- Моделирование раковых заболеваний: лейкемия и множественная миелома. Разработка математических моделей, анализ и численное моделирование, характеризация миелобластической лейкемии по цитометрии в потоке. Моделирование развития множественной миеломы. Выбор оптимальных протоколов лечения.
- Математическое моделирование эритропоеза. Разработка гибридных моделей эритропоеза с учетом наличия клеток различных типов, внутриклеточного и межклеточного регулирования. Функционирование эритробластических островков и производство эритроцитов, реакция на гипоксию, регулирование эритропоетином.
- Математическая иммунология. Развитие вирусной инифекции как реакционно-диффузионное волна. Существование, устойчивость и режимы распространения; влияние запаздывания иммунного ответа; мутации вирусов; антивирусная терапия и возникновение резистентных штаммов.
- Электростимуляция коры головного мозга для реабилитации пациентов после инсульта. Моделирование волн электрического потенциала в коре головного мозга на основе интегро-дифференциальных уравнений теории среднего поля. Различные режимы распространения волн, устойчивость, бифуркации, нелинейная динамика. Подбор режимов стимуляции для восстановления характеристик волн в поврежденных участках мозга.
- Разработка гибридных моделей в биомедицине, основанных на комбинации дискретных клеточных моделей и непрерывных моделей для внутриклеточного регулирования (ОДУ) и межклеточного регулирования (УЧП). Применение к различным задачам биомедицины (лейкемия, лимфома, миелома, эритропоез). Гибридные модели с диссипативной динамикой частиц для изучения свертываемости крови в потоке.
- Эволюция биологических видов. Разработка моделей эволюции на основании нелокальных реакционно-диффузионных уравнений, учитывающих конкуренцию за ресурсы. Условия возникновения новых видов, описание различных режимов эволюции видов. Взаимосвязь различных определений биологических видов (по Дарвину и Мэйру). Нелокальные модели хищник-жертва.
- Морфогенез и моделирование роста растений. Разработка моделей роста растений, как объяснить многообразие растений, ветвление; вегетативные гормоны и питательные вещества. Двумерные модели на основании деления клеток, рост растений как самоподобные структуры. Различные модели морфогенеза и wound healing.
- Прочие вопросы: экономико-демографические модели, фазовые переходы в оксидах металлов, распространение волн кальция и т.д.
Научные интересы
- Общая теория эллиптических уравнений в неограниченных областях;
- Математическая теория реакционно-диффузионных волн с приложениями в химической кинетике и горении;
- Нелокальные реакционно-диффузионные уравнения и уравнения с запаздыванием;
- Колебательный тепловой взрыв;
- Капиллярные явления в смешивающихся жидкостях;
- Математическая теория возникновения и эволюции биологических видов;
- Математическая теория и моделирование биомедицинских процессов: атеросклероза и других хронических воспалений, свертываемости крови и тромбоз, раковые заболевания;
- Новые методы математического моделирования в биомедицине;
- Исследование математических моделей различных биологических и экологических вопросов: роста растений, морфогенеза и т.д.
Аневризмы мешковидной формы обычно связаны с медленным, почти застойным кровотоком, а также с последующим появлением тромбов. Несмотря на практическую важность, отсутствуют вычислительные модели, которые могли бы объединить агрегацию тромбоцитов, точную биореологию и свертывание плазмы крови в одну эффективную структуру. В настоящем исследовании рассматриваются как физические, так и биохимические эффекты при тромбозе аневризм и зон рециркуляции крови. Мы используем континуальное описание системы и модель на основе дифференциальных уравнений в частных производных, которые учитывают гидродинамику, транспорт тромбоцитов, адгезию и агрегацию, а также биохимические каскады свертывания плазмы. Исследование сосредоточено на роли транспорта и накопления клеток крови, включая контактные взаимодействия между тромбоцитами и эритроцитами (эритроцитами), каскад коагуляции, запускаемый активированными тромбоцитами, и зависимую от гематокрита реологию крови. Мы проверили модель в сравнении с известными экспериментальными эталонами тромбоза in vitro. Численное моделирование указывает на важную роль эритроцитов в пространственном распространении и временной динамике роста аневризматического тромба. Локальный гематокрит определяет вязкость областей, богатых эритроцитами. В результате высокий гематокрит замедляет циркуляцию кровотока и увеличивает присутствие эритроцитов в аневризме. Интенсивность кровотока в кровеносном сосуде, связанная с аневризмой, также влияет на распределение тромбоцитов в системе, а также на устойчивую форму тромба.
Статья посвящена компартментальной эпидемиологической модели прогрессирования инфекции в гетерогенной популяции, состоящей из двух групп с высоким потенциалом передачи (HT) и низким потенциалом передачи (LT). Окончательный размер и продолжительность эпидемии, общее и текущее максимальное количество инфицированных оцениваются в зависимости от структуры населения. Показано, что при одинаковом базовом репродуктивном числе R0 в начале эпидемии ее дальнейшее развитие зависит от соотношения между двумя группами. Следовательно, подбора данных в начале эпидемии и определения R0 недостаточно для прогнозирования ее поведения в течение длительного времени. Имеющиеся данные об эпидемии Covid-19 позволяют оценить долю групп HT и LT. Предполагаемая структура населения используется для исследования влияния вакцинации на дальнейшее развитие эпидемии. Результат вакцинации сильно зависит от соотношения вакцинированных лиц между двумя группами. Вакцинация группы HT останавливает эпидемию и существенно снижает общее количество инфицированных лиц в конце эпидемии и текущее максимальное количество инфицированных лиц, в то время как вакцинация группы LT действует только для защиты вакцинированных лиц от дальнейшего заражения.
Пространственное распределение населения неоднородно, например разница в плотности населения между городской и сельской местностью. В исторической перспективе, то есть в масштабе веков, появление густонаселенных территорий на их нынешних местах, как широко считается, связано с более благоприятными экологическими и климатическими условиями. В данной статье мы оспариваем эту точку зрения. Сначала мы идентифицируем несколько областей в разных частях мира, где условия окружающей среды (количественно измеренные по температуре, осадкам и высоте над уровнем моря) показывают относительно небольшие изменения в пространстве в масштабе тысяч километров. Затем мы исследуем распределение населения по этим территориям, чтобы показать, что, несмотря на приблизительную однородность окружающей среды, оно демонстрирует значительные вариации, обнаруживая почти периодическую пространственную структуру. Основываясь на этом очевидном несогласии, мы предполагаем, что может существовать внутренний механизм, который может привести к формированию паттерна даже в однородной среде. Мы рассматриваем математическую модель сопряженной демографической экономической динамики и показываем, что ее пространственно однородное, локально стабильное устойчивое состояние может привести к возникновению периодической пространственной модели из-за нестабильности Тьюринга, пространственный масштаб возникающей модели согласуется с наблюдениями. Используя численное моделирование, мы показываем, что, что интересно, появление паттернов Тьюринга может в конечном итоге привести к коллапсу системы.
В природе разные виды соревнуются между собой за общие ресурсы и благоприятную среду обитания. Таким образом, становится действительно важным определить ключевые факторы сохранения биоразнообразия. Кроме того, некоторые конкурирующие виды следуют циклической конкуренции в реальном мире, где конкурентное доминирование характеризуется циклическим упорядочением. В этой статье мы изучаем формирование широкого разнообразия пространственно-временных паттернов, включая стационарные, периодические, квазипериодические и хаотические распределения популяции для модели диффузной трехвидовой циклической конкуренции типа Лотки – Вольтерра с двумя различными типами циклического упорядочения. Для обоих типов циклического упорядочения временная динамика соответствующей непространственной системы показывает исчезновение двух видов через глобальные бифуркации, такие как гомоклинические и гетероклинические бифуркации. Для пространственной системы мы показываем, что существование паттернов Тьюринга возможно для конкретного циклического упорядочения, в то время как для другого циклического упорядочения это не так, как с помощью аналитических, так и численных методов. Далее, мы проиллюстрировали интересный сценарий кратковрменного вторжения в отличие от обычного явления вторжения по всей среде обитания. Кроме того, наше исследование показывает, что как стационарное, так и динамическое распределения населения могут сосуществовать в разных частях среды обитания. Наконец, мы расширяем пространственную систему, добавляя нелокальные внутривидовые условия конкуренции для всех трех конкурирующих видов. Наше исследование показывает, что введение нелокальности во внутривидовые соревнования стабилизирует динамику системы, преобразовывая динамическое распределение населения в стационарное. Удивительно, но вызванное нелокальностью формирование стационарного паттерна приводит к исчезновению одного вида и, следовательно, приводит к потере биологического разнообразия для промежуточных диапазонов нелокальности. Однако биоразнообразие можно восстановить при достаточно большой степени нелокальности.
Свертывание крови представляет собой один из наиболее изученных процессов в моделировании в биомедицине. Однако клиническое применение этого моделирования остается ограниченным из-за сложности этого процесса и из-за большого различия между пациентами концентраций факторов крови, кинетических констант и физиологических условий. Определение некоторых из этих специфичных для пациента параметров возможно экспериментально, но это будет связано с чрезмерными временными и материальными затратами, невозможными в клинической практике. В данной работе мы предлагаем методологический подход к моделированию свертывания крови для конкретного пациента.
Рассмотрена модель жертва-хищник с фактором размножением в популяции жертвы и нелокальным потреблением ресурсов жертвой в двух пространственных измерениях. Сначала изучаются паттерны, созданные моделью без нелокальных членов и периодических граничных условий. Затем исследуются паттерны Тьюринга, вызванные нелокальным взаимодействием (см. Banerjee et al. (2018) [1]) в двумерном пространстве, а также эффекты диапазона нелокального взаимодействия на результирующие паттерны при соответствующих параметрических ограничениях. Условия бифуркации Тьюринга для нелокальной модели выводятся аналитически, а сценарий бифуркации стационарной модели, генерируемой из однородного стационарного состояния, подробно изучается как аналитически, так и численно. Также исследуется преобразование периодических и апериодических решений, представленных локальной моделью, в стационарный паттерн Тьюринга как эффект члена нелокального взаимодействия. Результирующие паттерны являются стационарными, когда диапазон нелокальных взаимодействий значительно велик.
Повреждение стенок артериальных сосудов приводит к агрегации тромбоцитов, которая действует как физическое препятствие для кровотечения. Артериальный тромб неоднороден; он имеет плотную внутреннюю часть (ядро) и нестабильную внешнюю часть (оболочку). Оболочка тромба очень динамична и состоит из слабо связанных дисковидных тромбоцитов. Механизмы, лежащие в основе наблюдаемой подвижности оболочки и ее (патофизиологические) последствия, неясны. Чтобы исследовать механику артериального тромба, мы разработали новую, насколько нам известно, двумерную вычислительную модель тромбоза микрососудов на основе частиц. Модель рассматривает два типа межтромбоцитарных взаимодействий: первичное обратимое (опосредованное гликопротеином Ib (GPIb)) и более сильное опосредованное взаимодействие, которое усиливается с активацией тромбоцитов. При высоких скоростях сдвига первое взаимодействие приводит к адгезии, а второе, в первую очередь, отвечает за стабильную агрегацию тромбоцитов. Используя стохастическую модель GPIb-опосредованного взаимодействия, мы первоначально воспроизвели экспериментальные кривые, которые характеризуют индивидуальные взаимодействия тромбоцитов с поверхностью, покрытой фактором фон Виллебранда. Добавление второго стабилизирующего взаимодействия приводит к образованию тромба. Сопоставление динамики тромба с экспериментальными данными позволило оценить величину критических межтромбоцитарных сил в оболочке тромба и характерное время активации тромбоцитов. Модель предсказывает умеренную зависимость максимальной высоты тромба от размера повреждения при отсутствии активности тромбина. Показано, что разработанная стохастическая модель воспроизводит наблюдаемое высокодинамичное поведение оболочки тромба. Наличие первичного стохастического взаимодействия между тромбоцитами приводит к свойствам тромба, согласующимся с данными in vivo; он не растет выше места травмы и покрывает всю травму с первых секунд образования. Упрощенная модель, в которой GPIb-опосредованное взаимодействие является детерминированным, не воспроизводит эти особенности. Таким образом, стохастичность взаимодействий тромбоцитов имеет решающее значение для пластичности тромба, предполагая, что взаимодействие через небольшое количество связей управляет динамикой оболочки артериального тромба.
Мы доказываем существование решений для некоторых полулинейных эллиптических уравнений в соответствующих пространствах H4, используя технику неподвижной точки, где эллиптическое уравнение содержит дифференциальные операторы четвертого порядка со свойством Фредгольма и без него, обобщая предыдущие результаты.
Работа посвящена анализу динамики клеточной популяции, при которой клетки делают выбор между дифференцировкой и апоптозом. Этот выбор основан на значениях внутриклеточных белков, концентрации которых описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений с бистабильной динамикой. Внутриклеточная регуляция и судьба клеток контролируются внеклеточной регуляцией через количество дифференцированных клеток. Показано, что общее количество клеток обязательно колеблется, если исходное состояние внутриклеточной регуляции зафиксировано. Эти колебания можно подавить, если начальным условием является случайная величина с достаточно большой вариацией. Таким образом, результат работы предлагает возможный ответ на вопрос о роли стохастичности во внутриклеточной регуляции.
Статья посвящена проблеме реакции-диффузии, описывающей диффузию и потребление питательных веществ в биологической ткани, состоящей из мелких клеток, периодически расположенных во внеклеточной матрице. Клетки потребляют питательные вещества со скоростью, пропорциональной площади клетки и концентрации питательных веществ. Зависимость от концентрации питательного вещества может быть линейной или нелинейной. Ячейки моделируются потенциалом, аппроксимирующим дельта-функцию Дирака. Потенциал имеет носитель с периодическим распределением небольшой меры. Задача содержит два небольших параметра: диаметр ячейки и расстояние между ячейками (по сравнению с характерным макроскопическим размером). В многомерной постановке, предполагающей некоторое ограничение на связь параметров, доказывается сходимость решения этой задачи к решению предельной усредненной задачи. Мы показываем, что задача является негомогенизируемой в классическом смысле, если это ограничение не выполняется.
Для моделирования эпидемии COVID-19 рассматривается расширенная модель типа SEIQR. Она содержит классы восприимчивых людей: зараженные, инфицированные с симптомами и бессимптомно, помещенные в карантин, госпитализированные и выздоровевшие. Определяются базовая репродуктивная численность и окончательный размер эпидемии. Модель используется для сопоставления имеющихся данных по некоторым европейским странам. Представлена более подробная модель с двумя различными подклассами восприимчивых людей, чтобы изучить влияние социального взаимодействия на прогрессирование заболевания. Коэффициент социального взаимодействия K характеризует уровень социальных контактов по сравнению с полной изоляцией (K = 0) и отсутствием изоляции (K = 1). Подстановка данных показывает, что реальный уровень этого коэффициента в некоторых европейских странах составляет около 0,1, что характеризует медленное прогрессирование болезни. Незначительное повышение этого значения осенью может привести к сильному всплеску эпидемии.
Изучено нелокальное уравнение реакции-диффузии, возникающее в различных приложениях. Скорость бегущих волн определяется с помощью минимаксного представления. Он используется для получения оценок скорости волны и асимптотических значений.
Статья представляет собой обзор литературы по бегущим волнам, описываемым уравнениями реакции-диффузии с запаздыванием. Он начинается с представления различных типов уравнений, возникающих в приложениях. Основные результаты о существовании и устойчивости волн представлены для уравнений, удовлетворяющих условию монотонности, обеспечивающему применимость принципов максимума и сравнения. Другие методы и результаты описаны для случая, когда не выполняется условие монотонности. Последние два раздела посвящены уравнениям с запаздыванием в математической иммунологии и нейробиологии. Обсуждаются существование, устойчивость и динамика волновых фронтов и периодических волн.
Изучается уравнение реакции-диффузии с логистическим элементом и запаздывающим членом. Доказана глобальная устойчивость при некоторых условиях на запаздывающий член. В случае, когда эти условия не выполняются, это решение может стать нестабильным, что приведет к возникновению пространственно-временного формирования структуры, изучаемого в численном моделировании.
Различные виды мозговой деятельности, включая двигательную, зрительную и языковую, сопровождаются распространением периодических волн электрического потенциала в коре головного мозга, что, возможно, обеспечивает синхронизацию эпицентров, участвующих в этих действиях. Одним из примеров является электрическая активность коры головного мозга, распространяющаяся во время сна и описываемая как бегущие волны [Massimini et al., J. Neurosci. 24, 6862-6870 (2004)]. Эти волны модулируют возбудимость коры головного мозга по мере их прогрессирования. Рассматривается возможная роль эпицентров и исследуем модель нейронного поля с двумя нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями для распределений активирующих и ингибирующих сигналов. Он изучается с помощью симметричных функций связности, характеризующих обмен сигналами между двумя популяциями нейронов, возбуждающими и тормозящими. Бифуркационный анализ используется для исследования возникновения периодических бегущих волн и постоянных колебаний из стационарных, пространственно однородных решений и устойчивости этих решений. Оба типа решений могут быть запущены локальными колебаниями, указывающими на возможную роль эпицентров в инициировании распространения волн.
Изучается модель жертва-хищник с нелокальным или глобальным потреблением ресурсов добычей. Проведен линейный анализ устойчивости относительно однородного в пространстве стационарного решения для определения условий бифуркации стационарных и движущихся импульсов в случае глобального потребления. Их существование подтверждено численным моделированием. При нелокальном потреблении наблюдаются периодические бегущие волны и многократные импульсы.
Рассматривается модель реакции-диффузии для взаимодействия жертва-хищник с кинетикой реакции Базыкина и нелокальным членом взаимодействия при росте добычи. Ядро интеграла характеризует нелокальное потребление ресурсов и зависит от пространства и времени. Линейный анализ устойчивости определяет условия возникновения паттернов Тьюринга без и с нелокальным членом, в то время как слабонелинейный анализ позволяет выводить амплитудные уравнения. Бифуркационный анализ и численное моделирование, проведенные в данной работе, показывают существование стационарных и динамических закономерностей, возникающих из-за потери устойчивости однородного стационарного состояния сосуществования.
Периодические бегущие волны наблюдаются в различных видах деятельности мозга, включая зрительную, двигательную, языковую, сонную и так далее. Существует несколько моделей нейронного поля, описывающих периодические волны, предполагающие нелокальное взаимодействие и, возможно, торможение, временную задержку или некоторые другие свойства. В этой работе мы изучаем влияние функций асимметричной связности и временной задержки для функций симметричной связности на возникновение периодических волн и их свойства. Изучается нелинейная волновая динамика, в том числе модулированные и апериодические волны. Наблюдается множественность волн при одних и тех же значениях параметров. Обсуждается внешняя стимуляция с целью восстановления распространения волн в поврежденной ткани.
Тромбоциты регулируют выработку тромбина и укрепляют фибриновый сгусток, что увеличивает риск возникновения венозной тромбоэмболии (ВТЭ). Однако роль тромбоцитов в патогенезе венозных сердечно-сосудистых заболеваний по-прежнему трудно поддается количественной оценке. Сформулирована экспериментально подтвержденная модель динамики образования тромбина. Модель предсказывает, что высокое количество тромбоцитов увеличивает пиковое значение генерируемого тромбина, а также потенциал эндогенного тромбина (ETP), как сообщается в экспериментальных данных. Чтобы исследовать влияние плотности тромбоцитов, скорости сдвига и размера раны на инициирование свертывания крови, мы калибруем ранее разработанную модель образования венозного тромба и реализуем ее в 3D с использованием нового решения метода конечного объема, ориентированного на клетки. Мы проводим численное моделирование для воспроизведения экспериментов in vitro по свертыванию крови в микрофлюидных капиллярах. Затем мы выводим уменьшенную модель распределения тромбина с одним уравнением из предыдущей модели в соответствии с упрощающими гипотезами и используем ее для определения условий инициации свертывания по количеству тромбоцитов, скорости сдвига и составу плазмы. Инициация свертывания крови также демонстрирует пороговую реакцию на размер поврежденной области, что хорошо согласуется с данными экспериментальных исследований.
Существование бегущих волн изучается для системы уравнений реакции – диффузии с запаздыванием, описывающей распределение вирусов и иммунных клеток в ткани. Доказательство использует метод Лере-Шаудера, основанный на топологической степени для эллиптических операторов в неограниченных областях и на априорных оценках решений в весовых пространствах.
В данной работе мы изучаем сложную динамику взаимодействия естественной конвекции и теплового взрыва в пористых средах. Этот процесс моделируется с помощью нелинейного уравнения теплопроводности в сочетании с нестационарным уравнением Дарси в приближении Буссинеска для насыщенной жидкостью пористой среды в прямоугольной области. Численное моделирование с использованием метода радиальных базисных функций (RFM) выявляет сложную динамику решений и переходы к хаосу после последовательности бифуркаций удвоения периода. Несколько периодических окон чередуются с хаотическими режимами из-за перебоев или кризиса. После последнего хаотического режима окончательное периодическое решение предшествует переходу к тепловому взрыву.
Существование бегущих волн изучается для системы уравнений реакция-диффузия, описывающей распределение вирусов и иммунных клеток в ткани. Доказательство использует метод Лере – Шаудера, основанный на топологической степени для эллиптических операторов в неограниченных областях и на априорных оценках решений в весовых пространствах.
Уравнение реакции-диффузии с бистабильной нелокальной нелинейностью рассматривается в случае, когда член реакции не является квазимонотонным. Для этого уравнения существование бегущих волн доказывается методом Лере-Шаудера, основанным на топологической степени для эллиптических операторов в неограниченных областях и априорных оценках решений в правильно выбранных весовых пространствах.
Статья посвящена исследованию реакционно-диффузионной системы уравнений, описывающей процесс свертывания крови. Изучается существование импульсных решений, т. е. положительных стационарных решений с нулевым пределом на бесконечности. Показано, что такие решения существуют тогда и только тогда, когда скорость бегущей волны, описываемой той же системой, положительна. Доказательство основано на методе Лере – Шаудера с использованием топологической степени для эллиптических задач в неограниченных областях и априорных оценок решений в некоторых подходящих весовых пространствах.
Правильная интерпретация данных лабораторных тестов, включая тест на образование тромбина (TGT), требует математических моделей свертывания крови, основанных на биохимии. Цель этого исследования - описать экспериментальные данные TGT от здоровых доноров и пациентов с гемофилией A (HA) и B (HB). Мы получаем упрощенную модель ОДЕ и применяем ее для анализа данных TGT от здоровых доноров и пациентов с HA/HB с добавлением антитела к ингибитору тканевого фактора in vitro (TFPI). Эта модель позволяет охарактеризовать пациентов с гемофилией в пространстве трех наиболее важных параметров модели. Предлагаемый подход может предоставить новый количественный инструмент для анализа экспериментального TGT. Кроме того, он дает уменьшенную модель коагуляции, проверенную на основе клинических данных, для использования в будущем теоретическом крупномасштабном моделировании тромбоза в потоке.
Цель данной статьи - объединить различные области исследований, включая бегущие волны мозга, нейромодуляцию мозга, моделирование нейронных полей и постинсультные языковые расстройства, чтобы изучить возможность реализации управляемой моделью нейромодуляции коры головного мозга для лечения постинсультной афазии. По данным ВОЗ, во всем мире инсульты являются второй по значимости причиной смерти и третьей по значимости причиной инвалидности. При ишемическом инсульте кровоснабжения недостаточно для обеспечения частей мозга достаточным количеством кислорода и питательных веществ, в то время как при геморрагическом инсульте происходит кровотечение в закрытой полости черепа. Настоящая статья посвящена ишемическому инсульту. Сначала мы рассмотрим накопленные наблюдения за бегущими волнами, возникающими спонтанно или вызванными внешними стимулами у здоровых людей, а также у пациентов с заболеваниями головного мозга. Мы исследуем предполагаемые функции этих волн и фокусируемся на афазии после инсульта, наблюдаемой, когда языковые сети мозга становятся фрагментированными и/или частично молчащими, тем самым нарушая распространение бегущих волн в опасных областях. Во-вторых, мы фокусируемся на упрощенной модели, основанной на современной литературе в этой области, и описываем динамику кортикальных бегущих волн и их модуляцию. Эта модель использует биофизически реалистичное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее пространственно распределенные и синаптически связанные нейронные сети, создающие решения бегущей волны. Модель используется для расчета параметров волны (скорости, амплитуды и/или частоты) и для руководства реконструкцией возмущенной волны. Термин стимуляции включен в модель для восстановления распространения волн до достаточно хорошего уровня. В-третьих, мы рассматриваем различные вопросы, связанные с реализацией нейромодуляции, управляемой моделью, при лечении афазии после инсульта, учитывая, что исследования инвазивной стимуляции мозга с замкнутым циклом в последнее время дали обнадеживающие результаты. Наконец, мы предполагаем, что модуляция бегущих волн путем избирательного и динамичного действия в пространстве и времени для облегчения распространения волн является многообещающей терапевтической стратегией.
В этой статье мы рассмотрим (3 + 1)-мерное уравнение, подобное уравнению Бюргерса, возникающее в механике жидкости, которое построено на основе метода генерации пар Лакса. Билинейная форма для этой модели получена для построения решений с несколькими изгибами.
Работа посвящена уравнению диффузии с периодическим потенциалом типа Дирака, имеющим различную структуру в двух частях области. Проблема может быть усреднена в одной части области, в то время как стандартная гомогенизация не работает в другой. Мы вводим и численно тестируем метод частичной гомогенизации, комбинируя в одной многомасштабной модели гомогенизированное и дискретное описание.
Эпидемиологические данные по сезонному гриппу показывают, что темпы роста числа инфицированных лиц могут увеличиваться, переходя от одного экспоненциального темпа роста к другому с более высоким показателем. Такое поведение не описывается обычными эпидемиологическими моделями. В этой работе предложена иммуноэпидемиологическая модель для описания этого двухэтапного роста. Он учитывает, что рост числа инфицированных лиц увеличивает начальную вирусную нагрузку и обеспечивает переход от первой стадии эпидемии, когда инфицируются только люди со слабым иммунным ответом, ко второй стадии, когда также инфицируются люди с сильным иммунным ответом. Этот сценарий можно рассматривать как увеличение эффективного числа восприимчивых, увеличивающее эффективный темп роста инфицированных.
Попытки обуздать распространение коронавируса путем введения строгих карантинных мер, по-видимому, имеют разный эффект в разных странах: хотя число новых случаев, как сообщается, сократилось в Китае и Южной Корее, оно по-прежнему демонстрирует значительный рост в Италии и других странах Европы. В этой краткой заметке мы попытаемся оценить эффективность карантинных мер с помощью математического моделирования. Вместо классической модели SIR мы вводим новую модель прогрессирования инфекции в предположении, что все инфицированные индивидуумы изолированы после инкубационного периода таким образом, чтобы они не могли заразить других людей.
Изучение взаимодействующих популяций является активной областью исследований, и для описания их динамики были приняты различные подходы к моделированию. Математические модели таких взаимодействий с использованием дифференциальных уравнений способны имитировать стационарные и колеблющиеся (регулярные или нерегулярные) распределения населения. В последнее время некоторые исследователи обратили свое внимание на объяснение последствий переходной динамики плотности населения (особенно длительных переходных периодов) и смогли зафиксировать такое поведение с помощью простых моделей. Существование множества стационарных участков и переход к стабильному распределению после длительной квазистабильной переходной динамики можно объяснить пространственно-временными моделями с нелокальными условиями взаимодействия. Однако исследований таких явлений для трех взаимодействующих видов в литературе не так много. Руководствуясь этими фактами, мы рассмотрели модель хищника-жертвы трех видов, в которой хищник является универсальным по своей природе, поскольку он выживает на двух видах добычи. Нелокальности вводятся в условия внутривидовой конкуренции для двух видов добычи, чтобы смоделировать доступность близлежащих ресурсов. Используя линейный анализ, мы вывели условия нестабильности Тьюринга как для пространственно-временных моделей с нелокальными взаимодействиями, так и без них. Подтверждение таких условий указывает на возможность существования стационарных пространственно неоднородных распределений для всех трех видов. Существование длительной переходной динамики было представлено в определенной параметрической области. Исчерпывающее численное моделирование показывает различные сценарии стабилизации распределения популяции из-за наличия нелокальной внутривидовой конкуренции за два вида добычи. Хаотические колебания, проявляемые временной моделью, значительно подавляются, когда популяциям разрешается перемещаться по своей среде обитания, а виды-жертвы могут получить доступ к близлежащим ресурсам.
Представлена и изучена математическая модель, описывающая вирусную динамику в присутствии латентно инфицированных клеток и цитотоксических клеток Т-лимфоцитов (CTL), учитывающая пространственную подвижность свободных вирусов. Модель включает в себя пять нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие между неинфицированными клетками, латентно инфицированными клетками, активно инфицированными клетками, свободными вирусами и клеточным иммунным ответом. Во-первых, мы устанавливаем существование, положительность и ограниченность предлагаемой модели диффузии. Более того, мы доказываем глобальную устойчивость каждого устойчивого состояния, построив несколько подходящих функционалов Ляпунова. Наконец, мы подтвердили наши теоретические результаты с помощью численного моделирования для каждого случая.
В этой статье мы делаем заявление о том, что гибридные модели в онкологии необходимы как средство для улучшенной интеграции данных. В контексте системной онкологии экспериментальные и клинические данные должны лежать в основе разработки моделей от концепции до валидации, чтобы обеспечить соответствующее использование моделей в клиническом контексте. Основными направлениями применения являются улучшение диагностики и оптимизация методов лечения.
Лекарственная устойчивость (ЛУ) - это явление, характеризующееся устойчивостью заболевания к фармацевтическому лечению. У онкологических больных ЛУ является одной из основных проблем, ограничивающих терапевтический потенциал существующих методов лечения. Поэтому преодоление ЛУ путем восстановления чувствительности раковых клеток было бы очень полезно. В этом контексте математическое моделирование может быть использовано для разработки новых терапевтических стратегий, которые максимизируют эффективность противораковых средств и потенциально преодолевают ЛУ. В этой статье мы представляем новую многомасштабную модель, посвященную взаимодействию потенциальных методов лечения с развитием множественной миеломы (ММ). В этой модели клетки ММ представлены в виде отдельных объектов, которые перемещаются, делятся и погибают в результате апоптоза. Судьба каждой клетки зависит от внутриклеточной и внеклеточной регуляции, а также от проводимого лечения.
Bessonov, N., Bocharov, G.A., Leon, C., Popov, V., Volpert, V. Genotype-dependent virus distribution and competition of virus strains // Mathematics and Mechanics of Complex Systems, 8 (2), 2020, pp. 101-126.
Распределение плотности вируса в зависимости от генотипа, рассматриваемого как непрерывная переменная, и времени изучается с помощью нелокального уравнения реакции-диффузии, учитывающего конкуренцию вируса за клетки-хозяева и его элиминацию иммунным ответом и зависящей от генотипа смертностью. Существование штаммов вируса, то есть положительных стабильных стационарных растворов, распадающихся на бесконечности, определяется допустимыми интервалами в пространстве генотипов, где смертность, зависящая от генотипа, меньше, чем скорость размножения вируса, и иммунным ответом при некоторых соответствующих предположениях о функции иммунного ответа, характеризующей элиминацию вируса иммунными клетками. Конкуренция штаммов вируса изучается сначала без иммунного ответа, а затем с иммунным ответом. В отсутствие иммунного ответа динамика штаммов различна в коротком масштабе времени, когда они сходятся к некоторым промежуточным медленно развивающимся решениям в зависимости от начальных условий, и в длительном масштабе времени, когда их распределение сходится к стационарному решению. Иммунный ответ может существенно влиять на динамику штаммов, либо стабилизируя их, либо устраняя один из штаммов. Противовирусное лечение также может влиять на конкуренцию штаммов вируса, и это может привести к появлению устойчивых штаммов, которые отсутствовали до лечения из-за конкуренции с восприимчивыми штаммами.
Bessonov, N., Bocharov, G., Meyerhans, A., Popov, V., Volpert, V. Nonlocal reaction-diffusion model of viral evolution: Emergence of virus strains // Mathematics, 8 (1), art. no. 117, 2020
Эта работа посвящена исследованию эволюции и диверсификации вирусов вследствие мутаций, конкуренции за клетки-хозяева и перекрестнореактивных иммунных реакций. Модель состоит из нелокального уравнения реакции-диффузии для плотности вируса в зависимости от генотипа, рассматриваемого как непрерывная переменная и во времени. Это уравнение содержит два интегральных члена, соответствующих нелокальным эффектам взаимодействия вируса с клетками-хозяевами и с иммунными клетками. В модели штамм вируса представлен локализованным раствором, сконцентрированным вокруг некоторого заданного генотипа. Появление новых штаммов соответствует периодической волне, распространяющейся в пространстве генотипов. Описаны условия возникновения таких волн и их динамика.
В рамках добровольной вакцинации решающую роль в формировании уровня и тенденций охвата вакцинацией играют тип и структура информации, которую получают и используют родители детей, имеющих право на вакцинацию. В этой статье мы исследуем обратные связи пространственной мобильности и пространственной структуры информации о динамике вакцинации, распространяя на непрерывную пространственно структурированную настройку существующие поведенческие эпидемиологические модели влияния побочных эффектов вакцины (VAES) на выбор вакцинации. Мы рассмотрели простейшую пространственную установку и сосредоточились на случае, когда инфекция отсутствует. Этот сценарий имитирует важный случай популяции, в которой ранее эндемичная инфекция, предотвратимая с помощью вакцины, была успешно ликвидирована, но необходимо предотвратить повторное возникновение заболевания. Так, например, обстоит дело с полиомиелитом в большинстве стран мира. В такой ситуации динамика VAES и соответствующей информации, возможно, становятся ключевым фактором, определяющим решение о вакцинации и коллективный охват. В связи с этой "информационной проблемой" мы сравнили последствия трех основных случаев: (i) чисто местная информация, когда агенты реагируют только на происходящие на местном уровне события; (ii) сочетание чисто местной и глобальной, общенациональной информации, например, благодаря общенациональным средствам массовой информации и Интернету; (iii) сочетание местной и нелокальной информации. Представляя эти различные варианты информации через ряд различных пространственных информационных ядер, мы исследовали: наличие и стабильность пространственно-однородных, нетривиальных равновесий, обусловленных поведением; существование бифуркаций; существование классических и обобщенных бегущих волн; и последствия кампаний по повышению осведомленности, проводимых Системой общественного здравоохранения для поддержания распространения вакцин. Наконец, мы проанализировали некоторые аналогии и различия между нашими моделями и моделями Теории распространения инноваций.
В декабре 2019 года в городе Ухань, Китай, был зарегистрирован первый случай заражения новым вирусом COVID-19 (SARS-CoV-2), названным коронавирусом. В то время почти никто не обращал на это внимания. Однако новый патоген быстро оказался чрезвычайно заразным и опасным, что привело примерно к 3-5 % смертности. В течение нескольких последующих месяцев коронавирус распространился по всему миру. В конце марта общее число инфекций быстро приближается к порогу в один миллион, что на сегодняшний день приводит к десяткам тысяч смертей. Из-за большого числа уже погибших и высокого потенциала вируса для дальнейшего распространения, а также из-за его огромного общего воздействия на экономику и общество широко признается, что коронавирус представляет собой самую большую проблему для человечества после второй мировой войны. Эпидемия COVID-19 вызывает множество вопросов на всех уровнях. Это также показывает, что современное общество крайне уязвимо и не готово к подобным событиям. Становится актуальным широкое научное и общественное обсуждение. В этой статье предлагаются некоторые возможные направления этого обсуждения.
Мы изучаем двухфазную математическую модель S-E-I-R, основанную на текущей эпидемии коронавируса. Если контакты сведены к нулю с определенного времени T, близкого к началу эпидемии, конечный размер эпидемии близок к тому, который получен путем умножения совокупного числа случаев R(T) в это время на число воспроизведения R0 эпидемии. В более общем плане, если контакты разделены в момент времени T на q>1 так, чтобы R0/q<1, то конечный размер эпидемии близок к R(T) R0 (1-1/q)/(1-R0/q). Параметры модели примерно соответствуют данным по коронавирусу во Франции.
Augeraud, E., Banerjee, M., Dhersin, J.-S., D'Onofrio, A., Lipniacki, T., Petrovskii, S., Tran, C., Veber-Delattre, A., Vergu, E., Volpert, V., Dolbeault, J., Turinici, G. Heterogeneous social interactions and the COVID-19 lockdown outcome in a multi-group SEIR model // Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 15, 2020, pp. 1-18.
Мы изучаем варианты модели SEIR для интерпретации некоторых качественных особенностей статистики эпидемии Covid-19 во Франции. Стандартные модели SEIR различают, по существу, два режима: либо болезнь контролируется и число инфицированных людей быстро уменьшается, либо болезнь распространяется и заражает значительную часть населения до тех пор, пока не будет достигнут общий иммунитет. После изоляции на первый взгляд кажется, что социального дистанцирования недостаточно для контроля над вспышкой. Здесь мы обсуждаем возможное объяснение, а именно то, что изоляция создает социальную неоднородность: даже если подавляющее большинство населения соблюдает правила изоляции, небольшой части населения все равно приходится поддерживать нормальный или высокий уровень социальных взаимодействий, таких как медицинские работники, поставщики основных услуг и т.д. Это приводит к очевидному высокому уровню распространения эпидемии, измеряемому путем переоценки базового коэффициента воспроизводства. Однако эти показатели ограничены средними значениями, в то время как различия внутри популяции играют существенную роль в пиках и масштабах эпидемической вспышки и, как правило, снижают эти два показателя. Мы приводим теоретические и численные результаты, подтверждающие такую точку зрения.
Сердечно-сосудистые заболевания остаются одной из крупнейших причин смертности во всем мире. Смертельные патологии часто возникают из-за атеросклероза, образования тромбов и сердечной аритмии. Оказывается, что все эти патологии могут быть описаны с использованием общей структуры многокомпонентных уравнений реакции–диффузии. Эти параболические дифференциальные уравнения в частных производных поддерживают волны и формирование паттернов, которые имеют значение при изучении всех этих процессов. Здесь мы представляем первый обзор, который объединяет описание этих областей: атеросклероз, образование тромбов и нарушения сердечного ритма, и включает классические и последние разработки в этих областях. Мы покажем, как были построены математические модели основных физиологических процессов и какие общие свойства вытекают из их аналитического или численного исследования. Наконец, мы обсуждаем возможность интегративных исследований сердечно-сосудистых заболеваний, которые будут включать как образование тромбов, так и нарушения сердечного ритма. Такой подход будет весьма актуален для мерцательной аритмии, распространенной сердечной аритмии, основным осложнением которой является образование тромбов и инсульт.
В статье рассматривается существование импульсов для монотонных реакционно–диффузионных систем двух уравнений. Для общего класса систем мы доказываем, что импульсы существуют тогда и только тогда, когда волновые решения распространяются с положительной скоростью. Этот результат применяется для исследования существования импульсов для системы конкуренции видов.
Рассматривается модель нейронного поля с различными функциями активации и торможения и функциями реагирования. Анализ устойчивости однородного в пространстве решения определяет условия возникновения стационарных периодических решений и периодических бегущих волн. Различные режимы распространения волн проиллюстрированы в численном моделировании. Исследовано влияние внешней стимуляции на волновые свойства.
Распространение вирусной инфекции в тканях, таких как лимфатические узлы или селезенка, зависит от размножения вируса в клетках хозяина, их переноса и иммунного ответа. Реакционно–диффузионные системы уравнений с задержками в сроках пролиферации и гибели иммунных клеток представляют собой подходящую модель для изучения этого процесса. Свойства иммунного ответа и начальная вирусная нагрузка определяют режимы распространения инфекции. В предлагаемой модели скорость пролиферации иммунных клеток представлена колоколообразной функцией концентрации вируса, которая увеличивается при малых концентрациях и уменьшается, если концентрация достаточно высока. Здесь мы используем такую модельную систему, чтобы показать, что инфекция может быть полностью устранена или она может сохраняться вместе со сниженной концентрацией иммунных клеток. Наконец, иммунные клетки могут быть полностью истощены, что приведет к высокой концентрации вируса в ткани. Кроме того, мы предсказали два новых режима динамики инфекции, не наблюдавшихся ранее. Распространение инфекции в ткани может происходить в виде суперпозиции двух бегущих волн: первая волна распространяется как фронт инфекции низкого уровня, за которым следует фронт инфекции высокого уровня с меньшей скоростью распространения. Обе бегущие волны могут иметь положительную или отрицательную скорость, соответствующую продвижению или отступлению инфекции. Эти режимы могут сопровождаться нестабильностью и возникновением сложных пространственно-временных закономерностей.
Изучается существование монотонных волновых фронтов для общего семейства бистабильных уравнений реакции-диффузии с запаздывающим членом реакции g. В отличие от предыдущих работ, здесь не предполагается монотонность по отношению к переменной запаздывания, что не позволяет применять методы сравнения. Таким образом, доказательство основано на варианте функционально-аналитического подхода Хейла-Лина к гетероклиническим решениям функционально-дифференциальных уравнений, где редукция Ляпунова-Шмидта выполняется в соответствующих взвешенных пространствах C^2-гладких функций. Этот метод требует детального анализа связанных линейных дифференциальных операторов и их формальных сопряжений. Для двух различных типов унимодальных функций устанавливается существование максимального непрерывного семейства бистабильных монотонных волновых фронтов. В зависимости от типа унимодальности (эквивалентно, от знака скорости волны) для полученных бистабильных волн можно наблюдать два разных сценария: (1) независимо от размера запаздывания каждый бистабильный волновой фронт монотонен; (2) волновые фронты монотонны для умеренных значений запаздывания и могут колебаться при больших запаздываниях.
Нелинейная динамика уравнения реакции-диффузии с запаздыванием изучается с помощью численного моделирования в 1D и 2D случаях. Однородные в пространстве решения могут проявлять временные колебания с бифуркациями удвоения периода и переходом к хаосу. Переход между двумя областями с однородными колебаниями обеспечивается квазиволнами, распространяющимися решениями без регулярной структуры и часто со сложными апериодическими колебаниями. Динамика пространственно-зависимых решений описывается комбинацией различных волн, например, бистабильных, моностабильных, периодических и квазиволн.
Тромбоз - опасное для жизни клиническое состояние, характеризующееся затруднением кровотока в сосуде из-за образования большого тромба. Патогенез тромбоза сложен, поскольку тип образующихся тромбов зависит от расположения и функции соответствующего кровеносного сосуда. Чтобы исследовать это явление, мы разрабатываем новую многомасштабную модель роста тромбоцитарно-фибринового тромба в потоке. В этой модели регулирующая сеть каскада коагуляции описывается уравнениями в частных производных. Кровоток вводится с использованием уравнений Навье–Стокса, и сгусток рассматривается как пористая среда. Тромбоциты представлены в виде отдельных сфер, которые мигрируют вместе с потоком. Мы используем модель для исследования роли условий потока в формировании динамики венозных и артериальных тромбов. Описывается образование красных и белых тромбов при венозном и артериальном потоке соответственно и выделяем основные характеристики каждого типа. Определяются различные режимы нормального и патологического тромбообразования в зависимости от условий течения.
Существование бегущих волн изучается для бистабильной системы уравнений реакции–диффузии с линейными интегральными членами (дисперсией) и с некоторыми условиями нелинейности. Доказательство основано на методе Лере–Шаудера с использованием теории топологических степеней для Фредгольма и собственных операторов с нулевым индексом и априорными оценками решений в правильно выбранных взвешенных пространствах.
Изучаются бегущие волны для нелокальных уравнений реакции–диффузии. Получено минимаксное представление скорости волны. Он используется для получения аналитических оценок и асимптотических значений скорости. Определены два режима распространения волн. В одном из них преобладает диффузия, а в другом - нелокальное взаимодействие.
Мы изучаем разрешимость некоторых линейных неоднородных эллиптических задач и доказываем, что при некоторых сходимость в L 2 (ℝ d) их правых сторон подразумевает существование и сходимость в H 2 s (ℝ d) решений. Уравнения включают нефредгольмовы дифференциальные операторы второго порядка, возведенные в определенные дробные степени s, и мы используем методы спектральной теории и теории рассеяния для операторов типа Шредингера, разработанные в нашей предыдущей работе (Volpert and Vougalter, Electron J Differ Equ 160:16 pp, 2013).
Изучена реакционно-диффузионная система, описывающая свертывание крови в потоке. Мы доказываем существование стационарных решений при условии, что скорость задачи о бегущей волне для предельного значения скорости положительна. Обсуждаются последствия для проблемы роста тромбов.
В статье представлен обзор последних разработок гибридных дискретно-непрерывных моделей в динамике клеточной популяции. Такие модели широко используются в биологическом моделировании. Клетки рассматриваются как отдельные объекты, которые могут делиться, погибать в результате апоптоза, дифференцироваться и перемещаться под действием внешних сил. В простейшем представлении клетки рассматриваются как мягкие сферы, и их движение описывается вторым законом Ньютона для их центров. В более полном представлении могут быть приняты во внимание геометрия и структура ячеек. Судьба клеток определяется концентрациями внутриклеточных веществ и различными веществами во внеклеточном матриксе, такими как питательные вещества, гормоны, факторы роста. Внутриклеточные регуляторные сети описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, в то время как внеклеточные виды - уравнениями в частных производных. Мы проиллюстрируем применение этого подхода некоторыми примерами, включая бактериальную нить и рост опухоли. За этими примерами следуют более подробные исследования эритропоэза и иммунного ответа. Эритроциты образуются в костном мозге в виде небольших клеточных единиц, называемых эритробластическими островками. Каждый островок образован центральным макрофагом, окруженным эритроидными предшественниками на разных стадиях зрелости. Их выбор между самообновлением, дифференцировкой и апоптозом определяется регуляцией ERK/Fas и фактором роста, вырабатываемым макрофагом. Нормальное функционирование эритропоэза может быть нарушено развитием множественной миеломы, злокачественного заболевания крови, которое приводит к разрушению эритробластических островков и развитию анемии. Последняя часть работы посвящена применению гибридных моделей для изучения иммунного ответа и развития вирусной инфекции. Представлена двухмасштабная модель, описывающая процессы в лимфатическом узле и других органах.
На поздних стадиях рака, таких как меланома, некоторые злокачественные клетки покидают первичную опухоль и проникают в соседние лимфатические узлы (ЛУ). Взаимодействие между вторичным раком и иммунным ответом в лимфатическом узле представляет собой сложный процесс, который необходимо полностью понять, чтобы разработать более эффективные иммунотерапевтические стратегии. В этом процессе антигенпрезентирующие клетки (АПК) приближаются к опухоли и инициируют адаптивный иммунный ответ на соответствующий антиген. С одной стороны, иммунные клетки могут уничтожать опухолевые клетки, используя контакт между клетками и секретируя цитокины, индуцирующие апоптоз. Они также способны вызывать их спячку. С другой стороны, опухолевые клетки способны избегать иммунного надзора, используя свои иммуносупрессивные способности. Чтобы изучить взаимосвязь между прогрессированием опухоли и иммунным ответом, мы разработали две новые модели, описывающие взаимодействие между раковыми и иммунными клетками в лимфатическом узле. Первая модель состоит из уравнений в частных производных (PDE), описывающих популяции различных типов клеток. Вторая представляет собой гибридную дискретно-непрерывную модель, интегрирующую механические и биохимические механизмы, определяющие взаимодействие опухоли и иммунитета в лимфатическом узле.
Разработан численный подход для решения дифференциальных уравнений в бесконечной области, когда известно, что решение имеет медленно распадающийся хвост. Реализовано неортодоксальное граничное условие, основанное на существовании асимптотического соотношения для |y|1, за которым следует процедура оптимизации, позволяющая получить точное решение в усеченной конечной области.
Рассматривается консольная балка Тимошенко. Балка является вязкоупругой и подвержена поступательному смещению. Следовательно, система Тимошенко дополняется обыкновенным дифференциальным уравнением, описывающим динамику основания, к которому прикреплена балка. Мы устанавливаем управляющую силу, способную привести систему в равновесное состояние с определенной скоростью, зависящей от скорости затухания релаксационной функции.
В обзоре представлено современное состояние моделирования атеросклероза. Она начинается с биологического введения, описывающего механизмы хронического воспаления стенок артерий, характеризующие развитие атеросклероза. В частности, мы более подробно представляем модели, описывающие это хроническое воспаление как реакционно-диффузионную волну с режимами распространения в зависимости от уровня холестерина (ЛПНП), и модели катящихся моноцитов, инициирующих воспаление. Дальнейшее развитие этого заболевания приводит к образованию атеросклеротической бляшки, ремоделированию сосудов и возможному разрыву бляшки из-за ее взаимодействия с кровотоком. Мы рассматриваем модели взаимодействия бляшек с потоком, а также уменьшенные модели (0D и 1D) кровотока в атеросклеротической сосудистой сети.
Наблюдение за тканями организма хозяина иммунными клетками играет центральную роль в обеспечении их защитной функции. Технологии визуализации in vivo использовались для количественной характеристики сканирования клеток-мишеней и миграции лимфоцитов в лимфатических узлах (ЛН). Перевод этих количественных представлений в прогностическое понимание функционирования иммунной системы в ответ на различные возмущения критически зависит от вычислительных инструментов, связывающих свойства отдельных иммунных клеток с возникающим поведением иммунной системы. Выбрав второй закон Ньютона для управляющих уравнений, мы разработали широко применяемую математическую модель, связывающую индивидуальное и скоординированное поведение Т-клеток. Пространственная динамика клеток описывается суперпозицией автономного передвижения, межклеточного взаимодействия и процессов вязкого демпфирования. Модель откалибрована с использованием данных in vivo о показателях подвижности Т-клеток в LNS, таких как скорости перемещения, скорости поворота и индексы извилистости. Модель применяется для прогнозирования влияния подвижности Т-клеток на защиту от ВИЧ-инфекции, т. е. для оценки пороговой частоты специфичных к ВИЧ цитотоксических Т-клеток (CTLS), которая необходима для обнаружения продуктивно инфицированных клеток до начала высвобождения вирусных частиц.
Мы изучаем существование решений интегро-дифференциального уравнения в случае аномальной диффузии с отрицательным оператором Лапласа в дробной степени в двух измерениях. Доказательство существования решений основано на методе фиксированной точки. Используются условия разрешимости для нефредгольмовых эллиптических операторов в неограниченных областях.
https://www.scopus.com/inward/record.uri?eid=2-s2.0-85053032516&doi=10.1016%2fj.jtbi.2018.08.036&partnerID=40&md5=a81838f48449d694d798a1f699b01f3cРаспространение вирусной инфекции в тканях, таких как лимфатические узлы или селезенка, зависит от размножения вируса в клетках хозяина, их переноса и иммунного ответа. Реакционно-диффузионные системы уравнений с задержками клеточной пролиферации и гибели в результате апоптоза представляют собой подходящую модель для изучения этого процесса. Свойства клеток иммунной системы и начальная вирусная нагрузка определяют пространственно-временные режимы распространения инфекции. Инфекция может быть полностью устранена или она может сохраняться на каком-то уровне вместе с определенным хроническим иммунным ответом в пространственно однородном или колебательном режиме. Наконец, иммунные клетки могут быть полностью истощены, что приведет к сохранению высокой вирусной нагрузки в ткани. Экспериментально было установлено, что вирусные белки могут влиять на миграцию иммунных клеток. Исследование показывает, что как подвижность иммунных клеток, так и распространение вирусной инфекции, представленные коэффициентами скорости диффузии, являются важными контрольными параметрами, определяющими судьбу взаимодействия вируса с хозяином.
После инсульта кортикальные сети в области полутени становятся фрагментированными и частично деактивированными. Мы разрабатываем модель для изучения распространения волн электрического потенциала в кортикальной ткани с помощью интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в моделях нейронного поля. Скорость волны характеризуется возбудимостью тканей и связностью, определяемой с помощью параметров модели. Постинсультное повреждение тканей в области полутени создает гипоконнективность и снижает скорость распространения волн. Предполагается, что внешняя стимуляция могла бы восстановить скорость волны в области полутени при определенных условиях параметров. Управляемая моделью стимуляция коры головного мозга может быть использована для улучшения функционирования корковых сетей.
Гемостаз - это сложный физиологический механизм, который функционирует для поддержания целостности сосудов в любых условиях. Его основными компонентами являются тромбоциты крови и коагуляционная сеть, которые взаимодействуют, образуя гемостатическую пробку, комбинацию клеточного агрегата и студенистого фибринового сгустка, который останавливает кровотечение при повреждении сосудов. Нарушения гемостаза приводят к кровотечениям или тромбозам и являются основной непосредственной причиной смертности и заболеваемости в мире. Регулирование гемостаза и тромбоза чрезвычайно сложно, поскольку оно зависит от адгезии и механики клеток крови, гидродинамики и массопереноса различных видов, огромных сетей передачи сигналов в тромбоцитах, а также пространственно-временной регуляции сети свертывания крови. Математическое и вычислительное моделирование все чаще используется для понимания этой сложности в течение последних 30 лет, но ограничения существующих моделей остаются существенными. Здесь мы рассмотрим современные методы компьютерного моделирования тромбоза с особым акцентом на анализ нерешенных проблем. Они включают в себя: а) фундаментальные вопросы, связанные с физикой агрегатов тромбоцитов и фибриновых гелей; б) вычислительные проблемы и ограничения для решения моделей, сочетающих клеточную адгезию, гидродинамику и химию; в) биологические тайны и неизвестные параметры процессов; г) биофизические сложности регулирования пространственно-временных сетей. Рассматриваются как относительно классические подходы, так и инновационные вычислительные методы для их решения; темы, обсуждаемые в связи с моделированием тромбоза, включают крупнозернистое моделирование, моделирование на основе континуума и частиц, многомасштабные модели, гибридные модели, оценку параметров и другие. Подчеркивается фундаментальное понимание, полученное на основе теоретических моделей, и дается описание будущих перспектив в этой области и ближайших возможных целей.
Мы доказываем существование в смысле последовательностей стационарных решений для некоторых систем уравнений типа реакция–диффузия в соответствующих пространствах H2. Установлено, что при разумных технических условиях сходимость в L1 интегральных ядер приводит к существованию и сходимости в H2 решений. Нелокальные эллиптические задачи содержат дифференциальные операторы второго порядка со свойством Фредгольма и без него.
Образование тромба в ответ на повреждение сосуда запускается сложной сетью биохимических реакций каскада свертывания. Процесс роста сгустка может быть смоделирован как решение бегущей волны бистабильной реакционно–диффузионной системы. Критическое значение начального условия, которое приводит к сходимости решения к бегущей волне, соответствует импульсному решению соответствующей стационарной задачи. В настоящем исследовании доказывается существование импульсного решения стационарной задачи в модели основных реакций каскада свертывания крови с использованием метода Лере–Шаудера.
Дарвин описал биологические виды как группы морфологически сходных особей. Эти группы особей могут разделиться на несколько подгрупп в результате естественного отбора, что приведет к появлению новых видов. Некоторые виды могут оставаться стабильными без появления нового вида, некоторые другие могут исчезнуть или эволюционировать. Некоторые из этих эволюционных закономерностей были описаны в наших предыдущих работах независимо друг от друга. В этой работе мы разработали единую модель, которая позволяет нам воспроизвести основные закономерности на диаграмме Дарвина. Наблюдаются также некоторые более сложные эволюционные закономерности. Также обсуждается связь между дарвиновским определением видов, изложенным выше, и определением вида Майра (группа особей, которые могут размножаться).
Формирование пространственно-временных закономерностей в моделях интегро-дифференциальных уравнений взаимодействующих популяций является активной областью исследований, которая возникла благодаря внедрению нелокальных внутри- и межвидовых взаимодействий. Сообщается о стационарных закономерностях нелокальных взаимодействий в популяциях жертв и хищников для моделей с зависимой от жертвы функциональной реакцией, специализированным хищником и линейной внутренней смертностью для видов хищников. Основная цель настоящей работы - рассмотреть нелокальное потребление ресурсов в пространственно-временной модели добыча-хищник с бистабильной кинетикой реакции на рост добычи в отсутствие хищников. Выводятся условия Тьюринга и пространственной бифуркации Хопфа вокруг сосуществующего однородного стационарного состояния и проверяем аналитические результаты с помощью обширного численного моделирования. Бифуркации пространственных моделей также исследуются численно.
Изучается разрешимость некоторых линейных неоднородных эллиптических уравнений и показываем, что при некоторых условиях сходимость в L2(Rd) их правых сторон приводит к существованию и сходимости в H1(Rd) решений. Проблемы связаны с квадратными корнями нефредгольмовых дифференциальных операторов второго порядка, и мы используем методы спектральной теории и теории рассеяния для операторов типа Шредингера аналогично нашей предыдущей работе (Volpert and Vougalter in Electron J Differ Equ 160:16, 2013).
Доказывается существование стационарных решений для некоторых уравнений реакции-диффузии с супердиффузией. Соответствующая эллиптическая задача содержит операторы со свойством Фредгольма или без него. Используется метод фиксированной точки в соответствующих пространствах H2.
Т-лимфобластная лимфома (Т-ЛБЛ) - редкий тип лимфомы с хорошим прогнозом и частотой ремиссии 85 %. Пациенты могут быть полностью вылечены или могут рецидивировать во время или после 2-летнего лечения. Рецидивы обычно возникают рано после ремиссии острой фазы. Медиана времени рецидива равна 1 году после наступления полной ремиссии (диапазон 0,2-5,9 лет) (Uyttebroeck et al., 2008). Можно предположить, что пациенты могут лечиться дольше, чем необходимо, с чрезмерной токсичностью. Цель нашей модели состояла в том, чтобы исследовать, можно ли сократить продолжительность поддерживающей терапии без увеличения риска рецидивов, и определить минимальную продолжительность лечения, которую можно было бы протестировать в будущем клиническом испытании. Мы разработали математическую модель виртуальных пациентов с T-LBL, чтобы получить долю виртуальных рецидивов, близкую к той, которая наблюдается в реальной популяции пациентов из базы данных EuroLB. Наши модели воспроизводили 2-летнее наблюдение, необходимое для изучения начала заболевания, лечения острой фазы и фазы поддерживающего лечения.
Устанавливается существование в смысле последовательностей стационарных решений для некоторых уравнений типа реакция-диффузия в соответствующих пространствах H2. Показано, что при некоторых условиях сходимость в L1 интегральных ядер подразумевает существование и сходимость в H2 решений. Нелокальные эллиптические уравнения включают дифференциальные операторы второго порядка со свойством Фредгольма и без него.
Статья посвящена последним работам по реакционно–диффузионным моделям динамики вирусной инфекции в организмах человека и животных. Описаны различные режимы распространения инфекции в тканях. В частности, показано, что инфекция может распространяться в тканях органов в виде реакционно–диффузионной волны. Обсуждаются методы изучения условий существования волновых режимов временной и пространственной динамики инфекций.
Рост численности населения был назван самой большой проблемой, с которой человечество сталкивается в 21 веке, и, хотя, это утверждение справедливо в глобальном масштабе, на местном уровне во многих западных экономиках наблюдается сокращение численности населения. Европа на самом деле является родиной сокращения численности населения. По прогнозам, к 2050 году многие крупные европейские экономики потеряют значительную часть своего населения. В этой работе мы рассмотрим динамическую систему, соответствующую модели, введенной В. А. Вольпертом и др. [Нелинейный анализ. 159 (2017) 408-423]. С помощью этой модели иллюстрируются сценарии, которые в долгосрочной перспективе могут привести к резкому сокращению численности населения и/или ухудшению состояния экономики. Показывается, что даже когда при определенных условиях популяция вымрет, временно она может испытывать рост.
В нормальных условиях свертывание крови обеспечивает эффективный защитный механизм, предотвращающий кровотечение в случае повреждения сосуда. Детали его функционирования имеют особое значение, поскольку любые нарушения свертывания крови приводят к серьезным физиологическим обострениям. Многочисленные экспериментальные и вычислительные исследования демонстрируют распределение концентрации тромбина для определения пространственно-временной динамики образования сгустка. Распространяющийся от места повреждения с постоянной скоростью профиль концентрации тромбина может быть смоделирован с помощью решения бегущей волны системы уравнений в частных производных, описывающих основные реакции каскада коагуляции. В текущем исследовании мы выводим условия существования и устойчивости таких решений и предлагаем аналитический подход к оценке их скорости волны.
Эта статья посвящена моделированию роста тканей с помощью деформируемой клеточной модели. Каждая ячейка представляет собой многоугольник с частицами, расположенными в его вершинах. Силы растяжения, изгиба и давления действуют на частицы и определяют их перемещение. Рассматривается зависящая от давления пролиферация клеток. Наблюдаются различные закономерности роста тканей. Показано применение модели для регенерации тканей. Разработаны приближенные аналитические модели роста тканей.
Ревматоидный и псориатический артрит являются хроническими воспалительными заболеваниями, с массивным увеличением сердечно-сосудистых событий (ССО) и вкладом цитокинов TNF-α и IL-17. Хроническое воспаление внутри суставной мембраны или синовиальной оболочки возникает в результате активации фибробластов/синовиоцитов и приводит к высвобождению цитокинов из моноцитов (фактор некроза опухоли или TNF) и из Т-лимфоцитов (интерлейкин-17 или IL-17). На системном уровне те же самые цитокины воздействуют на эндотелиальные клетки и стенки сосудов. Ранее мы показали, что IL-17 и TNF-α, особенно в сочетании, усиливают прокоагуляцию, снижают антикоагуляцию и увеличивают агрегацию тромбоцитов, приводя к тромбозу. Эти результаты являются основой для моделей взаимодействия между IL-17 и TNF и генами, экспрессируемыми активированными эндотелиальными клетками. Данная работа посвящена математическому моделированию и численному моделированию свертывания крови и роста тромбов под влиянием IL-17 и TNF-α. Мы показываем, что они могут спровоцировать тромбоз, приводящий к полной или частичной закупорке кровеносных сосудов. Режимы свертывания крови и условия окклюзии исследуются в численном моделировании и в приближенных аналитических моделях. Результаты математического моделирования позволяют прогнозировать развитие тромбоза у отдельного пациента.
Уравнения реакции-диффузии с пространственно-зависимой нелинейностью рассматриваются по всей оси. Существование импульсов, стационарных решений, которые исчезают на бесконечности, изучается методом Лере–Шаудера. Он основан на топологической степени для Фредгольма и собственных операторов с нулевым индексом в некоторых специальных взвешенных пространствах и на априорных оценках решений в этих пространствах. Существование решений связано со скоростью решений бегущей волны для соответствующих автономных уравнений с предельной нелинейностью.
Закупорка сосуда - это нарушение кровотока внутри кровеносного сосуда из-за образования фибринового сгустка. В результате кровообращение в сосуде может замедлиться или даже прекратиться. Это может спровоцировать риск сердечно-сосудистых проблем. Чтобы исследовать это явление, мы использовали ранее разработанную математическую модель свертывания крови для описания концентраций факторов крови с помощью системы уравнений реакции-диффузии. Уравнения Навье-Стокса использовались для моделирования кровотока, и мы рассматривали сгусток как пористую среду. Определяются условия частичной или полной окклюзии малого сосуда в зависимости от различных физических и физиологических параметров. В частности, нас интересовали условия кровотока и диаметр области ранения. Существование критической скорости потока, разделяющей режимы частичной и полной окклюзии, было продемонстрировано с помощью математического исследования упрощенной модели распространения волны тромбина в потоке Пуазейля. Мы наблюдали различные режимы закупорки сосудов в зависимости от параметров модели как при численном моделировании, так и при теоретическом исследовании. Затем были сравнены скорость роста сгустка в потоке, полученную при моделировании, с экспериментальными данными.
Динамика численности населения зависит от различных экономических и социальных факторов. Их миграция частично определяется экономическими условиями, и она также может влиять на эти условия. Эта работа посвящена анализу взаимодействия миграции людей и распределения богатства. Модель состоит из системы уравнений для плотности населения и распределения богатства с обычными терминами диффузии и терминами перекрестной диффузии, описывающими миграцию людей, определяемую градиентом богатства и потоком богатства, определяемым миграцией людей. Производство и потребление материальных благ зависят от плотности населения, в то время как показатели рождаемости и смертности зависят от уровня благосостояния. В отсутствие терминов перекрестной диффузии динамика решений описывается решениями бегущей волны соответствующих реакционно–диффузионных систем уравнений. Мы показываем устойчивость таких решений при достаточно малых коэффициентах поперечной диффузии. Этот результат основан на методах возмущений и спектральных свойствах линеаризованных операторов.
Переход от молекулярного и клеточного уровня к многомасштабному системному пониманию иммунных реакций требует разработки новых подходов для интеграции знаний и данных с разных биологических уровней в интегративные математические модели, основанные на механизмах. Цель нашего исследования - представить методологию гибридного моделирования иммунологических процессов в их пространственном контексте.
Формирование пространственно-временных закономерностей в реакционно–диффузионных моделях взаимодействующих популяций является активной областью исследований в связи с различными экологическими аспектами. Нестабильность однородных стационарных состояний может приводить к различным типам паттернов, которые можно классифицировать как стационарные, периодические, квазипериодические, хаотические и т.д. Модель реакции–диффузии с кинетикой реакции типа Розенцвейга–Макартура для взаимодействия типа "жертва–хищник" не способна создавать модели Тьюринга, но для нее можно наблюдать некоторые модели, не относящиеся к Тьюрингу. Этот сценарий изменится, если мы включим в модель нелокальные взаимодействия. Основная цель настоящей работы – выявить возможные закономерности, порождаемые моделью реакции–диффузии с взаимодействием жертвы и хищника типа Розенцвейга–Макартура и нелокальным потреблением ресурсов видами-жертвами. Нас интересует существование паттернов Тьюринга в этой модели и влияние нелокального взаимодействия на периодическую бегущую волну и пространственно-временные хаотические паттерны. Глобальные бифуркационные диаграммы строятся для описания перехода от одного паттерна к другому.
Одной из основных характеристик свертывания крови является скорость роста сгустка. В настоящей работе мы рассматриваем математическую модель каскада свертывания крови и изучаем существование, стабильность и скорость распространения реакционно-диффузионных волн свертывания крови. Мы также разрабатываем упрощенную модель с одним уравнением, которая отражает основные особенности распространения волны тромбина. Для этого уравнения мы оцениваем скорость волны аналитически. Полученные формулы обеспечивают хорошее приближение скорости распространения волн в более сложной модели, а также для экспериментальных данных.
Инфицирование людей вирусом иммунодефицита человека (ВИЧ) представляет собой сложную биологическую систему и серьезную проблему для общественного здравоохранения. Для решения проблемы сложности систем необходимы новые подходы к анализу и прогнозированию динамики инфекции, основанные на многомасштабной интеграции онтогенеза вируса и иммунных реакций. Целью нашего исследования является: (1) сформулировать многомасштабную математическую модель ВИЧ-инфекции; (2) реализовать модель вычислительно с использованием гибридного подхода; и (3) откалибровать модель путем оценки значений параметров, позволяющих воспроизвести "стандартную" наблюдаемую динамику ВИЧ-инфекции в крови во время острой фазы первичной инфекции. Подход к моделированию объединяет процессы распространения инфекции и иммунные реакции в лимфатических узлах (ЛУ) с процессами, наблюдаемыми в крови. Пространственно-временная динамика численности Т-лимфоцитов в ЛН в ответ на ВИЧ-инфекцию регулируется уравнениями, связывающими внутриклеточную регуляцию судьбы лимфоцитов с помощью межклеточных цитокиновых полей. Мы описываем баланс пролиферации, дифференцировки и гибели на уровне одной клетки как следствие активации генов с помощью множества сигнальных путей, активируемых IL-2, IFNa и FasL. Различные пороги активации используются в модели для связи различных режимов клеточных реакций с иерархией относительных уровней цитокинов. Мы определяем эталонный набор значений параметров модели для фундаментальных процессов в лимфатических узлах, который обеспечивает разумное соответствие с вирусной нагрузкой и динамикой CD4+ Т-клеток в крови.
Allali, K., Joundy, Y., Taik, A., Volpert, V. Influence of natural convection on the heat explosion in porous media // Combustion, Explosion and Shock Waves, 53 (2), 2017, pp. 134-139.
Изучено взаимодействие между естественной конвекцией и тепловым взрывом в пористых средах. Модель состоит из нелинейного уравнения теплопроводности в сочетании с уравнением Дарси для движения несжимаемой жидкости в пористой среде. Численное моделирование выполняется с использованием метода конечных разностей альтернативного направления и метода быстрого преобразования Фурье. Наблюдается сложное поведение решений, включая периодические и апериодические колебания и колебательный тепловой взрыв. Показано, что конвекция может снизить риск взрыва за счет дополнительного перемешивания и теплопотерь, но она также может способствовать взрыву из-за колебаний температуры, возникающих в результате нестабильности стационарных конвективных режимов.
Множественная миелома (ММ) - генетически сложный гематологический рак, который характеризуется пролиферацией злокачественных плазматических клеток в костном мозге. ММ развивается из клонального предракового расстройства моноклональной гаммопатии неизвестной значимости (MGUS) путем последовательных генетических изменений, включающих множество различных генов, что приводит к нарушенному росту множества клонов плазматических клеток. Миграция, выживание и размножение этих клонов требуют прямого и косвенного взаимодействия с негемопоэтическими клетками костного мозга. Мы разрабатываем гибридную дискретно-непрерывную модель разработки MM со стадии MGUS. Дискретный аспект модели наблюдается на клеточном уровне: клетки представлены в виде отдельных объектов, которые движутся, взаимодействуют, делятся и погибают в результате апоптоза. Каждое из этих действий регулируется внутриклеточными и внеклеточными процессами, как описано в непрерывных моделях. Гибридная модель состоит из следующих подмоделей, которые были упрощены из гораздо более сложного состояния развивающейся ММ: движение клеток за счет хемотаксиса, внутриклеточная регуляция плазматических клеток, внеклеточная регуляция в костном мозге и приобретение мутаций при делении клеток. Расширяя предыдущую, более простую модель, в которой внеклеточный матрикс считался равномерно распределенным, новая гибридная модель обеспечивает более точное описание того, как цитокины вырабатываются микроокружением костного мозга и потребляются клетками миеломы. Сложные множественные генетические изменения в клетках ММ и многочисленные межклеточные и цитокин-опосредованные взаимодействия между клетками миеломы и их микроокружением в костном мозге упрощены в модели таким образом, что четыре родственных, но развивающихся клона ММ могут быть изучены, поскольку они конкурируют за доминирование в условиях внутриклональной гетерогенности.
Статья посвящена уравнению реакции–диффузии с вдвойне нелокальной нелинейностью, возникающей в различных приложениях в динамике численности населения. Один из интегральных терминов соответствует нелокальному потреблению ресурсов, в то время как другой описывает размножение с различными фенотипами. Проведен анализ линейной устойчивости однородного в пространстве стационарного решения. Существование бегущих волн доказано в случае узких ядер интегралов. Периодические бегущие волны наблюдаются при численном моделировании. Показано существование стационарных решений в виде импульсов и изучен переход от периодических волн к импульсам. В приложениях к теории видообразования результаты этой работы означают, что новые виды могут появиться только в том случае, если у них нет общих потомков. Таким образом, показано, как определение Дарвином видов как групп морфологически сходных особей связано с определением Майра как групп особей, которые могут размножаться только между собой.
В случае повреждения стенки сосуда или контакта плазмы крови с инородной поверхностью запускается цепочка химических реакций, называемая каскадом свертывания, приводящая к образованию фибринового сгустка. Ключевым ферментом каскада свертывания крови является тромбин, который катализирует образование фибрина из фибриногена. Распределение концентрации тромбина в плазме крови определяет пространственно-временную динамику образования сгустка. Контактный путь свертывания крови запускает выработку тромбина. Если концентрация тромбина, образующегося на этой стадии, достаточно велика, дальнейшая выработка тромбина происходит за счет петель положительной обратной связи каскада свертывания. В результате тромбин распространяется в плазме, расщепляя фибриноген, что приводит к образованию сгустка. Профиль концентрации и скорость распространения тромбина постоянны и не зависят от типа исходного активатора. Такое поведение системы свертывания хорошо описывается решениями бегущей волны в системе уравнений "реакция - диффузия" для концентрации факторов крови, участвующих в каскаде свертывания. В этом исследовании проведен детальный анализ математической модели, описывающей основную реакцию внутреннего пути каскада коагуляции. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования решений бегущей волны. Для рассматриваемой модели существование таких решений эквивалентно существованию волновых решений в упрощенной модели с одним уравнением, описывающей динамику концентрации тромбина, полученную в квазистационарном приближении. Упрощенная модель также позволяет получить аналитическую оценку скорости распространения тромбина в рассматриваемой модели. Скорость бегущей волны для одного уравнения оценивается с использованием метода узкой зоны реакции и кусочно-линейной аппроксимации. Полученные формулы дают хорошее приближение скорости распространения тромбина как в упрощенной, так и в исходной модели.
В статье рассматривается существование решений системы интегро-дифференциальных уравнений в случае аномальной диффузии с лапласианом в дробной степени. Доказательство существования решений основано на методе фиксированной точки. Используются условия разрешимости для нефредгольмовых эллиптических операторов в неограниченных областях.
Исследуется существование решений системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в динамике численности населения в случае аномальной диффузии. Доказательство существования решений основано на методе фиксированной точки. Используются условия разрешимости для эллиптических операторов без свойства Фредгольма в неограниченных областях.
Устанавливается существование стационарных решений для некоторых систем уравнений реакции-диффузии с супердиффузией. Соответствующая эллиптическая задача включает операторы со свойством Фредгольма или без него. Используется метод фиксированной точки в соответствующих пространствах векторных функций H2.
https://www.scopus.com/inward/record.uri?eid=2-s2.0-85019648960&doi=10.4171%2fRSMUP%2f137-9&partnerID=40&md5=0208c4f2cf10674fffcdfef54ff5dfa5
Цель этого исследования - смоделировать лимфедему после мастэктомии и ее лечение (компрессионная терапия). Во время операции рака молочной железы может быть произведено рассечение подмышечных узлов, которое может привести к повреждению лимфатической системы, что приведет к вторичной лимфедеме, расположенной в верхней конечности. Лимфедема конечностей - неизлечимое заболевание, связанное с хроническим и прогрессирующим отеком конечностей. Основным клиническим последствием лимфедемы является отек конечностей, клинически приводящий к боли, дискомфорту, снижению силы и осложнениям со стороны опорно-двигательного аппарата из-за чрезмерной тяжести конечностей. Некоторые устройства для лечения лимфедемы (например, повязки и предметы одежды) могут быть более персонализированными с учетом как характеристик компрессий, так и пациентов. Перед оценкой этих терапевтических стратегий у людей можно было бы использовать подход "in silico" для изучения интереса к постепенному или прерывистому тестированию на сжатие у виртуальных пациентов. Для этой цели мы разработали упрощенную модель лимфотока через лимфатическую систему во всей верхней конечности, включая соответствующие обмены интерстициальной жидкостью.
Свертывание крови регулируется с помощью сложной сети биохимических реакций факторов крови. Основным действующим ферментом является тромбин, распространение которого в плазме крови приводит к образованию фибринового сгустка. Спонтанное образование тромбов обычно контролируется действием различных ингибиторов плазмы, в частности, посредством связывания тромбина антитромбином. В текущем исследовании мы разрабатываем математическую модель образования сгустка как в неподвижной плазме, так и в кровотоке и определяем аналитические условия концентрации антитромбина, соответствующие различным режимам свертывания крови.
Распространение вируса в тканях определяется переносом вируса, размножением вируса в клетках-хозяевах и индуцированным вирусом иммунным ответом. Цитотоксические Т-клетки удаляют инфицированные клетки со скоростью, определяемой уровнем инфекции. Интенсивность иммунного ответа имеет колоколообразную зависимость от концентрации вируса, т. е. она возрастает при низком уровне и ослабевает при высоком уровне инфекции. Сочетание этих эффектов и временной задержки иммунного ответа определяют развитие вирусной инфекции в таких тканях, как селезенка или лимфатические узлы. Математическая модель, описанная в этой работе, состоит из уравнений реакции-диффузии с запаздыванием. Это показывает, что различные режимы распространения инфекции, такие как установление инфекции низкого уровня, инфекции высокого уровня или переход между ними, определяются начальной вирусной нагрузкой и интенсивностью иммунного ответа. Динамика модельных решений включает простые и составные волны, а также периодические и апериодические колебания. Результаты аналитических и численных исследований модели обеспечивают систематическую основу для количественного понимания и интерпретации детерминант инфекционного процесса в органах и тканях-мишенях на основе данных, полученных с помощью изображений, а также пространственно-временных механизмов патогенеза вирусных заболеваний и имеют прямое значение для медицинского тестирования на основе биопсии хронических инфекционных процессов, вызванных вирусами, например ВИЧ, ВГС и ВГВ.
Мы предлагаем изучить заживление ран у рыбок-зебр, используя, во-первых, дифференциальный подход для моделирования диффузии морфогенов и хемотаксического движения клеток, а во-вторых, гибридную модель регенерации тканей, где клетки рассматриваются как отдельные объекты, а молекулярные концентрации описываются уравнениями в частных производных.
Статья посвящена численному исследованию взаимодействия естественной конвекции и теплового взрыва в насыщенной жидкостью пористой среде в прямоугольной области. Модель состоит из уравнений Дарси для несжимаемой жидкости в пористой среде в сочетании с нелинейным уравнением теплопроводности. Численное моделирование выполняется с использованием метода радиальных базисных функций (RBFs). Мы изучаем бифуркацию периодического колебания отклика, порожденного бифуркацией Хопфа. Во-первых, наблюдаются бифуркации, нарушающие симметрию; затем следуют последовательные бифуркации удвоения периодов, ведущие к хаосу.
Статья посвящена многомасштабному моделированию эритропоэза и выработки гемоглобина. Эритроциты, которые переносят кислород из легких в другие ткани организма, образуются в костном мозге взрослых людей в клеточных единицах, называемых эритробластическими островками. Эритробластические островки состоят из центрального макрофага, окруженного эритроидными клетками на разных стадиях созревания. Незрелые клетки, колониеобразующие единицы - эритроиды, делают выбор между дифференцировкой самообновления и апоптозом, определяемым внутриклеточные белки и внеклеточные вещества. Более того, этот выбор регулируется эритропоэтином и другими гормонами. Эритропоэтин вырабатывается в почках в ответ на гипоксию из-за уменьшения количества эритроцитов и доставляется в плазме в костный мозг. Эритропоэтин стимулирует дифференцировку эритроидных клеток и увеличивает их пролиферацию за счет подавления апоптоза. Скорость выработки эритропоэтина зависит от уровня гемоглобина в крови, который зависит от количества циркулирующих эритроцитов. Гемоглобин вырабатывается в эритроидных клетках костного мозга в процессе их терминальной дифференцировки. Таким образом, существует обратная связь между выработкой эритроцитов костным мозгом, уровнем гемоглобина, содержащегося в этих клетках, и уровнем эритропоэтина. Многомасштабная модель, разработанная в этой работе, включает эритроидные клетки в костном мозге, их внутриклеточную и внеклеточную регуляцию, выработку гемоглобина и обратную связь с эритропоэтином. Эта модель описывает нормальное функционирование эритропоэза и его реакцию на анемию, возникающую в результате потери эритроцитов.
Изучается коллективное поведение группы индивидов. Каждый индивид принимает одно из двух альтернативных решений на основе бистабильной динамической системы нейронной сети. Параметры этой системы регулируются коллективным поведением группы с целью контроля количества индивидов с определенным решением. Показано, как поведение группы зависит от распределения начальных состояний индивидов до того, как они начнут процесс принятия решений. Если это распределение ограничено, то может оказаться невозможным добиться стабильного сосуществования двух решений, и наблюдаются колебания числа индивидов с данными решениями. Обсуждаются различные следствия этой теории.
Модель "жертва-хищник" с нелокальным потреблением добычи, представленная в этой работе, расширяет предыдущие исследования локальных моделей реакции-диффузии. Анализ линейной устойчивости однородного в пространстве стационарного решения и численное моделирование неоднородных решений позволяют анализировать бифуркации и динамику стационарных решений и бегущих волн. Эти решения обладают некоторыми новыми свойствами по сравнению с локальными моделями. Они соответствуют различным стратегиям питания хищников, наблюдаемым в экологии.
Статья посвящена уравнению диффузии с дискретным поглощением, описываемым суммой функций Дирака. Их опоры расположены в узлах некоторой регулярной сетки, расстояние между которыми определяется интегралом решения. Эта модель описывает сокращение биологической ткани, когда клетки потребляют некоторое вещество, влияющее на их взаимодействие. В одномерной формулировке мы доказываем существование решений дискретной задачи и их сходимость к решению предельной однородной задачи.
Множественная миелома (ММ) проникает в костный мозг и вызывает анемию, нарушая эритропоэз, но влияние инфильтрации костного мозга на анемию трудно поддается количественной оценке. Биопсии костного мозга недавно диагностированных пациентов с ММ были проанализированы до и после четырех 28-дневных циклов неэритротоксической индукционной химиотерапии в период ремиссии. Полный анализ клеток крови и концентрация парапротеинов в сыворотке крови измерялись при постановке диагноза и перед каждым циклом химиотерапии. При постановке диагноза область костного мозга, инфильтрированная миеломой, отрицательно коррелировала с гемоглобином, эритроцитами и эритроидными клетками костного мозга. После успешной химиотерапии у пациентов с менее чем 30 %-ной инфильтрацией миеломы при постановке диагноза эти параметры не изменились, тогда как у пациентов с более чем 30 %-ной инфильтрацией миеломы при постановке диагноза все три параметра увеличились. Клинические данные были использованы для разработки математических моделей влияния инфильтрации миеломой на костномозговые ниши терминального эритропоэза, эритробластические островки (EBIS). Гибридная дискретно-непрерывная модель эритропоэза, основанная на структуре/функции EBI, была распространена на участки костного мозга, содержащие несколько EBI. В модели клетки миеломы могут убивать эритроидные клетки, физически разрушая EBIS и продуцируя проапоптотические цитокины. После химиотерапии изменения парапротеинов сыворотки в качестве показателей клеток миеломы и изменения количества эритроцитов в качестве показателей эритроидных клеток костного мозга позволили смоделировать гибель клеток миеломы и восстановление эритроидных клеток соответственно. Моделирование инфильтрации костного мозга миеломой и лечение неэритротоксичной химиотерапией демонстрируют, что разрушение, опосредованное миеломой, и последующее восстановление EBIS и расширение популяций эритроидных клеток в EBIS после химиотерапии дают объяснение развитию анемии и ее опосредованному терапией восстановлению у пациентов с ММ.
Статья посвящена доказательству существования решений системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в случае аномальной диффузии, когда отрицательный лапласиан возведен в некоторую дробную степень. Исследование основано на методе фиксированной точки. Используются условия разрешимости для эллиптических операторов без свойства Фредгольма в неограниченных областях наряду с неравенством Соболева для дробного оператора Лапласа.
В статье рассматривается существование решений системы нелокальных уравнений реакции-диффузии, которая проявляется в динамике численности населения. Доказательство основано на методе фиксированной точки. Используются условия разрешимости для эллиптических операторов в неограниченных областях, которые не удовлетворяют свойству Фредгольма.
В этой статье представлен общий обзор гибридного моделирования, которое вот-вот станет повсеместным в биологическом и медицинском моделировании. Гибридное моделирование классически определяется как сочетание непрерывного подхода с дискретным для моделирования сложного явления, которое не может быть описано стандартным однородным способом, главным образом из-за присущей ему многомасштабной природы. На самом деле гибридное моделирование может быть чем-то большим, поскольку любые типы связанных формализмов квалифицируются как гибридные. В этом обзоре впервые представлена эволюция и текущий контекст этого подхода к моделированию. Затем в нем предлагается классификация моделей по трем различным типам, которые связаны с характером и уровнем связи используемых формализмов.
Изучается пространственно-временную модель добыча-хищник с нелокальными условиями взаимодействия. Нелокальные взаимодействия рассматриваются для видов жертв и хищников для описания нелокальной внутривидовой конкуренции за ограниченные ресурсы. Мы показываем, что область формирования паттерна увеличивается с увеличением диапазона нелокального взаимодействия. Метод численного продолжения используется для определения существования нескольких стационарных моделей.
В предисловии представлен краткий обзор статей, включенных в выпуск журнала «Математическое моделирование природных явлений» «Бифуркации и формирование паттернов в биологических приложениях».
Изучена реакционно-диффузионная система уравнений, описывающая свертывание крови. Различные режимы роста сгустка идентифицируются в покоящейся плазме и в кровотоке в зависимости от относительной силы инициирования, распространения и ингибирования производства тромбина.
Краткий обзор фармакокинетики-фармакодинамики (PK-PD), представленный ниже, призван показать эволюцию некоторых концепций и идей в этой области. Некоторые из них более подробно разработаны в статьях этого выпуска. Ключевым вопросом для практического применения моделей PK-PD является возможность оценки параметров модели с использованием данных пациентов.
Этот обзор посвящен последним достижениям в моделировании кровотока. Она начинается с обсуждения реологии крови и ее неньютоновских свойств. После этого мы представим некоторые методы моделирования, в которых кровь рассматривается как гетерогенная жидкость, состоящая из плазмы и клеток крови. А именно, мы опишем метод диссипативной динамики частиц и представим некоторые результаты моделирования кровотока. Последняя часть этой статьи посвящена одномерным глобальным моделям кровообращения. Мы объясним основные идеи этого подхода и приведем несколько примеров его применения.
Тромбоз глубоких вен (ТГВ) характеризуется образованием тромба в глубокой вене. Образовавшийся тромб может частично или полностью блокировать кровообращение. Он также может отделяться и мигрировать вместе с потоком, что приводит к тромбоэмболии легочной артерии. Антикоагулянтные препараты, такие как варфарин, обычно назначают для предотвращения повторного тромбоза. Действие варфарина контролируется с помощью анализа крови на Международное нормализованное соотношение (МНО), которое основано на измерении протромбинового времени. Высокий INR указывает на предрасположенность пациента к кровотечению, в то время как низкий INR показывает, что доза варфарина недостаточна для предотвращения тромбоэмболических осложнений. Терапевтическая цель INR варьируется от случая к случаю в зависимости от клинических показаний. В большинстве условий он имеет тенденцию находиться в диапазоне 2,0-3,0. В этой работе мы разрабатываем модель, описывающую свертывание крови во время лечения варфарином. Действие варфарина представлено подмоделью фармакокинетики-фармакодинамики (PK-PD). В нем описывается ингибирование синтеза зависимых от витамина К факторов варфарином в печени. Мы создаем популяцию пациентов с индивидуальными характеристиками и оцениваем их реакцию на лечение варфарином путем сравнения смоделированного INR и соответствующей развитой высоты сгустка. Используя этот подход, мы определяем основные причины тромбоза и стойкости кровотечения даже при МНО в пределах нормы. Таким образом, мы предлагаем новую методологию прогнозирования целевого МНО в зависимости от индивидуальных особенностей пациента.
Основной целью работы было сравнение различных экспериментальных проектов рандомизированных клинических исследований (РКИ) с точки зрения мощности, точности оценки эффекта лечения и количества пациентов, получающих активное лечение с использованием моделирования "in silico". Дизайн исследования и настройка виртуальной популяции пациентов были смоделированы и рандомизированы в потенциальных клинических испытаниях. Эффект лечения моделировался с использованием соотношения доза-эффект для количественных или качественных результатов. Были было проведено сравнение различных экспериментальных проектов и характеристик между конструкциями. Для каждого проекта была смоделирована тысяча клинических испытаний на примере смоделированного заболевания.