Все достижения

Асимптотическое поведение решений нелинейных граничных задач при больших временах. Установлены условия существования и отсутствия глобальных решений начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений с нелокальными граничными данными. Доказана орбитальная устойчивость одного класса солитонных решений обобщенного уравнения Кавахары. Установлены точные условия стабилизации решений нелинейных эволюционных уравнений высокого порядка. Для неравенств высокого порядка с нелинейностью типа Эмдена- Фаулера найдены точные условия отсутствия целых нетривиальных решений. Для таких неравенств с нелинейностью общего вида доказаны аналоги известной для второго порядка теоремы Келлера – Оссермана.

Разрушение решений нелинейных уравнений, сингулярности, режимы с обострениями.
Рассмотрены модельные нелинейные эволюционные уравнений третьего и четвертого порядков, описывающие волны и квазистационарные процессы в плазме и в полупроводниках соответственно. 
Доказано существование классических решений задачи Коши и получены достаточные условия их разрушения за конечное время. Получены также оценки сверху на время разрушения.

Изучено поведение решений квазилинейных параболических уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничных данных. Установлены точные оценки сверху финального профиля решения. Установлен критерий существования суперсингулярных неотрицательных решений с точечной особенностью для уравнений структуры нестационарной диффузии - нелинейной абсорбции с вырождающимся абсорбционным потенциалом. Исследуется также эволюции «больших» решений для таких уравнений.  Установлены точные условия распространения сингулярности решений из границы области на многообразие вырождения абсорбционного потенциала.

Теория усреднения нелинейных граничных задач. Изучаются максимально монотонные операторы в переменных пространствах. На этой основе строится теория усреднения граничных задач для эллиптических уравнений с нестандартными условиями роста. установлены свойства суммируемости энтропийных и слабых решений задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью из классов, близость которых к пространству интегрируемых функций характеризуется композициями логарифмической функции с малыми показателями.

• Исследована задача Коши-Дирихле для дважды квазилинейного параболического уравнения типа ньютоновско-неньютоновской фильтрации с сингулярно обостряющимися в некоторый конечный момент времени граничными данными. Описаны так называемые локализованные режимы с обострением и для соответствующих решений получены точные оценки сверху их профилей в окрестности времени обострения режима. На основе этих оценок изучены так называемые большие (то есть обращающиеся в бесконечность на всей параболической границе области) решения уравнений типа нелинейной диффузии-абсорбции с абсорбционным потенциалом, вырождающимся в некоторый конечный момент времени. Установлены точные оценки профиля больших решений в окрестности времени вырождения указанного потенциала в зависимости от характера этого вырождения.
• Изучены условия существования-несуществования глобальных (целых) решений во всем пространстве широкого класса стационарных дифференциальных неравенств высокого порядка. В частности, в случае второго порядка этот класс неравенств охватывает класс полулинейных эллиптических уравнений с нелинейностью как типа источника, так и абсорбции.
• Для неравенств с общими нестепенными нелинейностями найдены точные условия (обобщение на высокий порядок известных в случае уравнений второго порядка условий Келлера-Оссермана) на характер нелинейности, разделяющие случаи существования и несуществования глобальных решений.
• Для ряда нелинейных нелокальных уравнений математической физики найдены достаточные условия разрушения решений начально-краевых задач за конечное время. В частности, для нелинейного уравнения Бенжамина-Бона-Махони-Бюргерса установлена локальная по времени разрешимость задачи Коши для нового класса начальных функций.
• Изучены уравнения, описывающие квази-стационарные процессы в полупроводниках, ферромагнетиках, плазме. Получены достаточные условия разрушения решений за конечное время, соответствующее времени образования зон разрушения свойств полупроводимости материала или образованию зон нестабильности в плазме. В частности, изучено модельное нелинейное уравнение ион-звуковых волн, для которого установлены результаты о возникновении коллапса решений за конечное время.
• Для обобщенного уравнения Кавахары доказана теорема о тождественном равенстве глобального решения и солитона, при условии их близости в начальный момент времени в соответствующем энергетическом пространстве.
• Установлено экспоненциальное убывание на бесконечности решений –солитонных волн для уравнения, описывающего решётку Ферми-Паста-Улама с нелокальным взаимодействием. Найдены точные условия существования локальных и несуществования глобальных решений начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с нелинейным нелокальным условием памяти на границе.