Катализ

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных

Исследуется предельное поведение решений квазилинейных параболических и эволюционных уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничного режима, существование глобальных решений эволюционных уравнений с нелинейным источником, поведение локальных решений в окрестности времени их разрушения. Исследуются условия существования суперсингулярных и так называемых больших решений уравнений типа нелинейной диффузии-абсорбции. Исследуются уравнения в частных производных (корректная постановка краевых задач и качественные свойства решений) при минимально возможных ограничениях как на гладкость коэффициентов уравнений, так и на гладкость границ области. Осуществляется построение полностью вычисляемых оценок отклонения приближенного решения от точного, не требующие информации о точном решении и не зависящие от метода получения приближенного решения класса задач со свободными границами.

Нелинейные уравнения математической физики

Исследуются смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона, описывающие кинетику высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе, распределение гравитирующих частиц в межзвездном пространстве и ряд других важных физических явлений. Рассматриваются вопросы о существовании и устойчивости стационарных и нестационарных решений с компактными носителями, что соответствует проблеме удержания плазмы в термоядерном реакторе. Исследуются начально-краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений нечетного порядка по пространственным переменным, описывающих волновые процессы в средах с дисперсией. Примерами являются уравнения Кортевега-де Фриза, Кавахары, и другие, в частности, моделирующие волновые процессы в плазме. Рассматриваются вопросы существования решений подобных задач в различных функциональных пространствах, глобальной и локальной корректности таких задач, свойств регулярности и поведения решений при больших временах.

Геометрические методы исследования эллиптических дифференциальных уравнений, теория индекса

Исследуются геометрические и топологические проблемы теории эллиптических операторов на многообразиях. Рассматриваются краевые задачи на многообразиях с краем, задачи Соболева в относительной теории, нелокальные задачи на многообразиях, снабженных действиями групп. Строятся геометрические и топологические инварианты таких задач, устанавливаются формулы индекса и формулы Лефшеца.