Страна партнера
Россия
Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях
Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях
Год 2017-2019
Департамент Математический институт им. С.М. Никольского
В проекте рассматриваются краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в ограниченных областях и полупространстве, а также эллиптические функционально-дифференциальные уравнения во всем пространстве R^n. Будет исследована задача Дирихле в полупространстве для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, получены как необходимые, так и достаточные условия коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов в ограниченных областях, а также рассмотрены приложения указанных задач к проблеме Като о корне квадратном из оператора. Будет доказана гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением и исследована разрешимость параболических задач для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах. Будут рассмотрены эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с различными сжатиями, логарифмы которых несоизмеримы, и установлены условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи и непрерывной зависимости решений от коэффициентов сжатия. Также будет исследована разрешимость в весовых пространствах функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части сжатия по одним переменным и растяжения по другим (такие преобразования называются ортотропными сжатиями).
Перечень РИД по проекту (ключевых публикаций, патентов, свидетельств):
- Скубачевский А.Л., Гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением в цилиндре, ДАН, т. 478, № 2, 2018, С. 145-147.
- Muravnik A. B., On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 130-143.
- Муравник А.Б., Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач, Современная математика. Фундаментальныенаправления, т. 63, вып. 4, 2017
- Rossovskii L., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 226-239.
- Россовский Л. Е., К фильтрации изображений с использованием анизотропной диффузии, ЖВМиМФ, т.57, № 3, 2017, С. 396–403.
- Селицкий А.М. Разрешимость параболического функционально-дифференциального уравнения в банаховых пространствах // Научные ведомости БелГУ, т. 27(290), вып. 49, 2017, С.158-162.
- Россовский Л.Е., Тасевич А.Л., Об однозначной разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах// Дифференц. уравнения, т.53, № 12, 2017, С. 1679-1692
- Tasevich A., Analysis of Functional-Differential Equation with Orthotropic Contractions// Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 240-248.
- Skubachevskii A.L., The Kato Square Root Problem for Some Class of Regular Accretive Operators// The 43th Сonference on Evolution Equations and Applications. AbstractBook. Tokyo, Japan, December 25-27, 2017. С. 92-93.
- Муравник А.Б., Об эллиптических дифференциально-разностных уравнениях общего вида в полуплоскости // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 103-104.
- Skubachevskii A.L., Differential-DifferenceOperatorswithDegenerationSatisfyingtheKatoSquareRootProblemConjecture// Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 123-124.
- Тасевич А.Л., О применении весовых пространств Кондратьева к исследованию разрешимости эллиптических функционально—дифференциальных уравнений со сжатиями// Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 112-114.
- Rossovskii L., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions// International Conference on Differential and Difference Equations and Applications. Abstract Book. Amadora, Portugal, 2017, c. 152.
- Tasevich A., Functional-Differential Equation with Contractions in Weighted Spaces// International Conference on Differential and Difference Equations and Applications. Abstract Book. Amadora, Portugal, 2017, c. 157.
- Ivanova E.P., Boundary Value Problems for Differential-Difference Equations with Incommensurable Shifts of Arguments// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 81-82.
- Muravnik A.B., On Maximum Principle for Differential-Difference Equations // The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 124-125.
- Rossovskii L.E., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 149-150.
- Skubachevskii A.L., Kato Square Root Problem for Elliptic Functional Differential Operators// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 171.
- Tasevich A.L., On solvability of functional-differential equations with contractions in weighted spaces// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 175-176.
Цели проекта
- Доказательство разрешимости, определение классов единственности, получение интегрального представления решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений и изучение их качественных свойств. Получение в явном виде необходимых и достаточных условий выполнения неравенства типа Гординга для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в ограниченной области.
- Доказательство гипотезы Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в некоторых ограниченных областях, а также исследование разрешимости параболических задач для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах. Получение условий разрешимости краевых задач для различных типов функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатия и растяжения аргументов старших производных неизвестной функции, включая уравнения с несоизмеримыми сжатиями и ортотропными сжатиями.
Руководитель проекта
Все участники
Скубачевский Александр Леонидович
Научный руководитель Математического института имени С.М. Никольского
Результаты проекта
Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц двукомпонентной высокотемпературной плазмы под действием внешнего магнитного поля. Показано, что характеристики уравнений Власова с фиксированным потенциалом самосогласованного электрического поля и под действием достаточно большого внешнего магнитного поля не достигают границы рассматриваемой области. Доказана разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения такой задачи, с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими строго во внутреннем цилиндре.
Была установлена связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Были доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи.
Исследуется краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндрической области. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости такой задачи и о гладкости ее обобщенных решений. Эти результаты применяются для доказательства однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи для уравнения Пуассона. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений такой задачи. В свою очередь, эти результаты применяются к исследованию гладкости обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений, которые не обязательно являются сильно эллиптическими.
Доказана справедливость гипотезы Т. Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением.
Получена оценка снизу на норму многочлена от операторов и их сопряженных, обеспечивающая «независимость» пары нормальных коммутирующих операторов в гильбертовом пространстве. Рассмотрены следующие примеры «независимых» операторов: операторы сжатия независимых переменных с мультипликативно несоизмеримыми коэффициентами сжатия, оператор сжатия и операторы умножения на однородные функции нулевой степени, а также оператор сжатия и оператор поворота. В каждом из этих случаев указан явный вид пространства максимальных идеалов соответствующей B*-алгебры. На основе этих результатов получены необходимые и достаточные алгебраические условия сильной эллиптичности функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих в старшие производные преобразования сжатия аргументов с несколькими параметрами сжатия, логарифмы которых несоизмеримы. Доказано, что задача Дирихле для сильно эллиптического уравнения имеет единственное решение, зависящее непрерывно от параметров сжатия, а отвечающий задаче неограниченный оператор является генератором аналитической полугруппы. Анализ полученных условий показывает, что, являясь сильно эллиптическим при фиксированных несоизмеримых значениях параметров сжатия, функционально-дифференциальное уравнение будет таковым и в окрестности этих значений. Это в корне отличается от случая, когда в уравнении присутствуют лишь соизмеримые сжатия – здесь свойство сильной эллиптичности не является устойчивым относительно малых независимых возмущений параметров сжатия.
Для функционального оператора с аффинным преобразованием аргумента, определенного как композиция оператора сжатия аргумента (функции, на которую действует оператор) и оператора свертки с сосредоточенной на компакте регулярной борелевской мерой, выведена формула спектрального радиуса (в пространстве L_2 (R^n )) на основе характеристической функции меры. Получены явные выражения для спектрального радиуса в случае атомарных мер, а также ряда других мер. Изучено действие функционального оператора с аффинными преобразованиями на функции, заданные в ограниченной области. Предложенный подход применяется затем к модельной краевой задаче для эллиптического оператора, содержащего аффинное преобразование аргумента. Установлено достаточное условие однозначной разрешимости задачи Дирихле. Показано, что при нарушении такого условия в краевой задаче возможна потеря свойства корректности.
Была исследована разрешимость функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах H^s_0(ℝ^2). Эти пространства - частный случай весовых пространств В.А. Кондратьева, где вес, т.е. степень расстояния до начала координат, равен нулю. Был получен ряд достаточных условий, выраженных непосредственно через коэффициенты уравнения, существования и единственности решения данного уравнения с ортотропными сжатиями. При этом в условиях фигурирует показатель гладкости s, чье изменение имеет существенное влияние. Для функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями вначале получены условия однозначной разрешимости в шкале весовых пространств Кондратьева H^s_β(ℝ^2). В эти условия включены как коэффициенты уравнения, так и параметры s и β пространства. Введена новая шкала весовых пространств, в которых весовая функция естественным образом связана с преобразованием ортотропного сжатия, являясь степенью отношения x_1/x_2 координат. Изучены свойства этих пространств, связанные, прежде всего, с действием преобразования Фурье.
Получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности (выполнение неравенства Гординга) для дифференциально–разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов для ограниченных областей, допускающих конечное разбиение, ассоциированное с семейством сдвигов разностного оператора. В этом случае орбита границы под действием сдвигов конечна.
Для случая конечной орбиты доказано сохранение гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач в подобластях разбиений области. Предложен метод сведения таких задач к краевым задачам с нелокальными краевыми условиями.
Для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в случае бесконечной орбиты границы получены близкие к необходимым достаточные условия сильной эллиптичности.
Получены необходимые и достаточные условия равномерной сильной эллиптичности возмущенных дифференциально-разностных уравнений.
Для эллиптического дифференциально-разностного уравнения общего вида, т. е. для уравнения, в котором по переменной, параллельной граничной оси, действует произвольное количество суперпозиций второй производной и операторов сдвига, не связанных между собой никакими условиями соизмеримости, построено интегральное представление решения задачи Дирихле в полуплоскости в смысле обобщенных функций (по Гельфанду–Шилову), доказана его гладкость вне граничной прямой, а также доказана теорема об асимптотической близости построенного решения и решения задачи Дирихле в той же полуплоскости для эллиптического дифференциального уравнения, полученной из исходной (нелокальной) задачи следующим образом – значения всех сдвигов полагаются равными нулю. В качестве следствия из этой теоремы об асимптотической близости выведен критерий (поточечной) стабилизации решения исходной (нелокальной) задачи – доказано, что он совпадает с классическим критерием Репникова–Эйдельмана. Для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с нелокальными потенциалами доказано существование классического решения задачи Дирихле в полуплоскости, а также построено его интегральное представление формулой пуассоновского типа. Для эллиптических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия глобальных решений (соответственно – глобальных положительных решений). Для параболических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия решений (соответственно – положительных решений) задачи Коши во всем полупространстве. Как следствие, получены достаточные условия отсутствия решений (положительных решений) квазилинейных эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений со сверточными членами и регулярными (сингулярными) нелинейными членами.
Область исследования
- Теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами аргументов в старших членах имеет важные приложения в теории многослойных пластин и оболочек, теории многомерных лазерных систем и теории управления.
Партнеры