Квадратуры и разностные схемы со сверхстепенной сходимостью

Наука

Проекты и исследования

Математика Вычислительная математика и математическое моделирование

Год 2022-2024

Департамент Научный центр вычислительных методов и моделирования киберфизических систем

Теги квадратурные формулы сверхстепенная сходимость метод Монте-Карло сверхбыстрые разностные схемы

Идея проекта

Во многих прикладных задачах требуется экономичное вычисление квадратур с высокой точностью: вычисление многих специальных функций, разложение заданной функции в ряд или интеграл Фурье, вычисление различных интегральных преобразований, решение интегральных уравнений, решение краевых задач для уравнений математической физики, записанных в интегральной форме и многие другие.

Если размерность интеграла не превосходит 3, то применяют сеточные квадратурные формулы средних трапеций и Симпсона. Их погрешность зависит от шага сетки по степенному закону, причем показатель степени равен порядку точности квадратурной формулы.

Для интегралов более высокой размерности наиболее эффективны методы Монте-Карло. Они основаны на использовании случайных чисел с заданной функцией распределения. На практике используют детерминированные наборы чисел, имитирующие свойства случайных последовательностей. Работоспособность методов данного класса сильно зависит от качества этих наборов. Лучшие — квазислучайные последовательности Соболя и теоретико-числовые сетки Коробова: для непериодической подынтегральной функции погрешность таких квадратур обратно пропорциональна числу точек независимо от размерности интеграла. Расчеты с высокой точностью требуют больших объемов вычислений.

В данном проекте предлагаются подходы, которые обеспечивают сверхстепенную (а в ряде случаев — сверхэкспоненциальную) сходимость сеточных квадратурных формул и квадратур на точках Коробова. Это означает, что при удвоении числа точек число верных знаков примерно удваивается. Такая скорость сходимости кардинально быстрее традиционной степенной. Построенные методы будут использованы для составления разностных схем для интегральных уравнений Фредгольма и одномерных линейных краевых задач. Эти принципиально новые схемы также будут сходиться по сверхстепенному закону.

Перечень РИД по проекту

Belov A.A. Convergence of the grid method for the Fredholm equation of the first kind with Tikhonov regularization // Discrete & Continuous Models & Applied Computational Science. 31:2 (2023). 135–142.
Belov A.A., Khokhlachev V.S. Improvement of accuracy of exponentially converging quadratures // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 63:12 (2023). In press.
Tintul M.A., Khokhachev V.S., Belov A.A. Quadratures with super-power convergence // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. 86:11 (2022). 1350–1354.
Belov A.A., Tintul M.A. Calculation of multidimensional cubatures on Sobol sequences // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. 86:7 (2022), 861–864.
Хохлачев В.С., Белов А.А., Калиткин Н.Н. Улучшение оценок погрешности экспоненциально сходящихся квадратур // Известия РАН. Серия физическая. 85:1 (2021), 140–145.
Belov A.A., Kalitkin N.N., Tintul M.A. Unreliability of pseudorandom number generators // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 60:11 (2020), 1747–1753.

Поддержка проекта

Грант РНФ № 22-71-00028ф

Цели проекта

Разработать новые сеточные методы со сверхстепенной либо экспоненциальной сходимостью для вычисления одномерных и многомерных квадратур, интегральных уравнений Фредгольма и краевых задач для ОДУ.

Руководитель проекта

Белов Александр Александрович

Ученая степень основная - Кандидат физико-математических наук
Ученая степень дополнительная - Кандидат физико-математических наук

Результаты проекта

Ожидаемые результаты:

При интегрировании периодической функции по полному периоду квадратурные формулы средних и трапеций сходятся экспоненциально. В данном проекте будет построена принципиально новая оценка точности этих квадратур, которая является не мажорантной, а асимптотически точной.

С использованием этой оценки будет построена процедура экстраполяции погрешности, которая дает сверхэкспоненциальную скорость сходимости. Это обеспечивает расчет квадратуры с точностью ошибок единичного округления уже на очень грубых сетках с числом шагов 5–15.

Будут построены простые замены переменных интегрирования, которые обеспечивают сверхстепенную сходимость формул трапеций и средних для произвольной бесконечно гладкой функции. Таким образом, сверхстепенная сходимость будет реализована не только для периодических, но и для непериодических подынтегральных функций. Это кардинально повышает точность квадратурных формул.

Указанные замены переменных будут обобщены на случай интеграла многих переменных и применены к квадратурам на точках Коробова. Такие квадратуры будут иметь сверхстепенную сходимость, что кардинально быстрее, чем в традиционных методах Монте-Карло.

Предлагаемые методы интегрирования будут применены к решению уравнения Фредгольма второго рода. Будет построена разностная схема со сверхстепенной сходимостью. Это принципиально новый класс разностных схем.

Предлагаемые методы интегрирования будут применены к решению уравнения Фредгольма первого рода. Эта задача – некорректная. Для регуляризованной задачи будет составлена разностная схема со сверхстепенной сходимостью. Будет разработана новая методика расчета с апостериорным контролем точности, основанная на одновременном сгущении сеток и увеличении разрядности чисел.

Для одномерных линейных краевых задач будут построены экспоненциально сходящиеся разностные схемы. Они основаны на выражении решения и его производных в узлах сетки с помощью интеграла Коши. Для этого интеграла записывается экспоненциально сходящаяся квадратура средних или трапеций – принципиально новые схемы.

Будут реализованы процедуры апостериорного контроля точности по методу сгущающихся сеток, ориентированные на сверхстепенную и сверхэкспоненциальную скорость сходимости.

Будет проведена апробация предложенных методов на представительных тестовых задачах с известным точным ответом.

Область исследования

Вычисление специальных функций.
Разложение заданной функции в ряд или интеграл Фурье.
Вычисление различных интегральных преобразований.
Решение интегральных уравнений.
Решение краевых задач для уравнений математической физики, записанных в интегральной форме.

Предыдущий проект

Компьютерные науки

Разработка моделей и алгоритмов нарезки радиоресурсов и приоритетного доступа в беспроводной сети 6G

Следующий проект

Инженерные науки

Алгоритмы и модели обеспечения показателей качества обслуживания в беспроводных гетерогенных сетях шестого поколения