Страна партнера
Россия
Некоммутативная эллиптическая теория для действий групп на многообразиях
Некоммутативная эллиптическая теория для действий групп на многообразиях
Год 2019-2021
Департамент Математический институт им. С.М. Никольского
Исследуется ряд взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп: их эллиптичность и гомотопические свойства, - устанавливаются формулы индекса. Для реализации этого проекта развиваются аналитические, геометрические и топологические методы, как классические, так и относящиеся к некоммутативной геометрии (А. Конн, А. Московичи, Р. Нест, Б. Цыган и др.), а также к грубой (coarse) геометрии (Н. Хигсон, Г.Ю, Дж. Роу). Более точно, некоммутативная эллиптическая теория исследуется в следующих геометрических ситуациях.
- Задачи на некомпактных многообразиях с действием группы. Действие группы G на многообразии индуцирует представление группы операторами сдвига в пространстве функций на многообразии. Определена алгебра G-операторов, которая порождена (псевдо)дифференциальными операторами и операторами указанного представления. Эта ситуация включает в себя эллиптические задачи для квантовых графов, задачи на многообразиях с (поли)цилиндрическими и периодическими концами.
- Задачи в относительной эллиптической теории (задачи Соболева). Относительная эллиптическая теория есть теория, отвечающая паре, состоящей из замкнутого многообразия и подмногообразия в нём. В рамках этой теории рассматриваются задачи Соболева на основном многообразии, краевые условия которых определяются G-операторами. Здесь предполагается рассмотреть как случай дискретных групп G, так и групп Ли. Указанные задачи представляют собой новые классы задач Соболева с интегро-дифференциальными краевыми условиями.
Перечень ключевых публикаций по проекту
- Savin Anton, Schrohe Elmar. Analytic and algebraic indices of elliptic operators associated with discrete groups of quantized canonical transformations. Journal of Functional Analysis, 2020, 278 - 5, 108400, IPF 1.637
- Nazaikinskii V. E., Savin A. Yu., Sipailo P. A.. Sobolev Problems with Spherical Mean Conditions and Traces of Quantized Canonical Transformations. Russian Journal of Mathematical Physics, 2019, 26 - 4, 483-498, IPF 0.874
- Sipailo P. A.. Traces of Quantized Canonical Transformations on Submanifolds and Their Applications to Sobolev Problems with Nonlocal Conditions. Russian Journal of Mathematical Physics, 2019, 26 - 1, 135-138, IPF 0.874
- Manuilov V. M.. Roe Bimodules as Morphisms of Discrete Metric Spaces. Russian Journal of Mathematical Physics, 2019, 26 - 4, 470-478, IPF 0.874
- Д. А. Полуэктова, А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин, “Об алгебре операторов, отвечающей объединению гладких подмногообразий”, СМФН, 65, № 4, 2019, 672–682
Цели проекта
- В предлагаемом проекте планируется исследование ряда взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп.
- Исследуются фредгольмовость таких задач, их гомотопические свойства, устанавливаются формулы индекса.
- Рассматриваются задачи на некомпактных многообразиях с действием группы.
- В работах Б.Ю. Стернина и его школы была развита относительная эллиптическая теория, отвечающая паре, состоящей из многообразия и подмногообразия. В проекте исследуется связь этой теории с относительными когомологиями в топологии, устанавливается относительная теорема де Рама, исследуется относительная теория Ходжа. Ожидается, что результаты проекта будут иметь приложения в математической физике, в топологии неодносвязных многообразий и в теории С*-алгебр.
Руководитель проекта
Все участники
Савин Антон Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор Математического института им. С. М. Никольского
Результаты проекта
Получены условия эллиптичности и формулы индекса для задачи Соболева с краевым условием, заданным разрешающим оператором для волнового уравнения, на подмногообразии.
Установлена теорема конечности для эллиптических комплексов в относительной эллиптической теории. Результаты применяются к относительному комплексу де Рама и устанавливается относительная теорема де Рама в ситуации гладкого подмногообразия.
Установлена гомотопическая классификация G-операторов для многообразий с цилиндрическими концами.
Область исследования
- Результаты проекта имеют приложения в теории обратных задач для гиперболических уравнений, теории динамических систем, а также в некоммутативной геометрии.
Партнеры