Нелокальные краевые задачи: теория индекса и квазиклассические асимптотики
Год 2021-2023
Департамент Математический институт им. С.М. Никольского
Нелокальные задачи возникают во многих областях математики, а также в ее приложениях к науке и технике. В данном проекте мы сосредоточимся на нелокальных краевых задачах, связанных с действиями групп на многообразиях. Рассматривается задача об исследовании нелокальных эллиптических задач, а именно, необходимо получить понятие символа, доказать фредгольмовость эллиптических задач, получить гомотопическую классификацию и предъявить формулы индекса для новых классов таких задач.
Кроме этого, случай гиперболических уравнений (или, более общо, уравнений с вещественными характеристиками) остается практически не исследованным в случае нелокальных задач, главным образом из-за сложности предмета. Здесь задача состоит в том, чтобы расширить существующие и хорошо зарекомендовавшие себя для локальных задач методы, такие как интегральные операторы Фурье и канонический оператор Маслова, чтобы охватить нелокальные краевые задачи рассматриваемых здесь типов.
- Изучаются эллиптические и гиперболические нелокальные краевые задачи, связанные с действиями групп в неинвариантном случае, когда действие не сохраняет границу. Наша цель - изучить как аналитические аспекты теории (ввести понятие эллиптичности, доказать фредгольмовость эллиптических элементов), так и применить методы топологии и некоммутативной геометрии для получения формул индекса. Важную роль играет разбиение многообразия с краем на части образами границы при диффеоморфизмах, задаваемых действием группы. Это разбиение рассматривается как многообразие с особенностями, и мы собираемся применить к нашей задаче методы сингулярного анализа. Для изучения гиперболических нелокальных краевых задач мы будем использовать квазиклассические методы.
![-](https://www.rudn.ru/storage/media/research_projects/2a8bd86f-f02b-4243-8328-d978516cd31f/conversions/savin-a-yu1-resp.jpg)
Савин Антон Юрьевич
- Результаты будут применены для нахождения квазиклассических асимптотик решений нелокальных гиперболических задач. Они имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и в некоммутативной геометрии и глобальном анализе. Полученные результаты могут быть также применены при исследовании нелокальных краевых задач, возникающих в механике.
![](https://www.rudn.ru/storage/media/partner/064444fc-92b2-415b-9599-d8f8af957be9/12.png)
Страна партнера
Германия
О партнере
Начало сотрудничества: 2011
Многомасштабное математическое моделирование в медицине