Получен ряд принципиально новых результатов в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных и их приложениях: разрешимость и регулярность начальных и начально-краевых задач в неограниченных областях для уравнения Кортевега – де Фриза и уравнения Захарова – Кузнецова; существование монотонных волновых фронтов для общего семейства бистабильных уравнений типа реакции-диффузии с запаздыванием в нелинейном слагаемом, отвечающем за реакцию; разрешимость задачи Дирихле для эллиптического функционально-дифференциального уравнения, содержащего сдвиги и сжатие аргумента. Получено существенное продвижение в решении известной проблемы Като о квадратном корне из регулярно аккретивного оператора. Задачи, исследованные в проекте, связаны тем, что большинство их являются нелокальными. При этом нелокальные члены могут присутствовать как в уравнениях, так и в краевых условиях.
Изучено существование монотонных волновых фронтов для общего семейства бистабильных уравнений реакции-диффузии с запаздывающим членом реакции g. В отличие от в предыдущих исследований, не предполагается монотонность g (u, v) относительно запаздывания переменной v, что не позволяет применять методы сравнения.
Для двух разных типов v-унимодальных функций g (u, v) установлены существование максимального непрерывного семейства бистабильных монотонных волновых фронтов. В зависимости от типа унимодальности (эквивалентно, по знаку скорости волны), два разных сценария могут наблюдаться для полученных бистабильных волн: (1) независимо от величины запаздывания каждый бистабильный волновой фронт монотонен; (2) волновые фронты являются монотонными для небольших запаздываний, и могут осциллировать в случае больших запаздываний. Исследовано существование бегущих волн для бистабильной реакционно-диффузионной системы уравнений с линейными интегральными членами (дисперсией) и с некоторыми условиями на нелинейность. Доказательство основано на методе Лере-Шаудера с использованием теории топологической степени для фредгольмовых и собственных операторов с нулевым индексом и априорных оценках решений в подходящих весовых пространствах.
Доказана гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в ограниченной области.
Исследована разрешимость задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения, содержащего под знаком оператора Лапласа члены со сжатиями и сдвигами независимой переменной, в зависимости от коэффициентов при этих членах. Получены условия однозначной разрешимости в пространствах Соболева, а также продемонстрирован эффект появления бесконечномерного многообразия решений.
Выведена формула объема неевклидова октаэдра, обладающего 4|m-симметрией. Получен критерий существования гиперболического и сферического 4|m-октаэдра. Исследована возможность выражения объема четырехмерного гиперболического симплекса через элементарные функции от длин его ребер.
Получены результаты о существовании и единственности решений начальных и начально-краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза в бесконечных областях в случаях малых начальных данных или малых интервалов времени. Получены результаты о глобальной корректности решений начально-краевых задач для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова в полуполосе с различными типами граничных условий.
Построен символ операторов, ассоциированных с группами Ли квантованных канонических преобразований. Установлена фредгольмовость эллиптических G-операторов.
Получены условия, при которых следы квантованного канонического преобразования на подмногообразии сами являются квантованными каноническими преобразованиями.
Получена версия леммы Зарембы-Хопфа-Олейник о граничной точке для общих эллиптических и параболических уравнений в дивергентной форме при оптимальных (близких к необходимым) ограничениях на коэффициенты уравнений и границы областей.
Найдены условия, при которых произведение в виде G-коммутатора превращает линейное пространство дифференцируемых по Гато операторов в Ли-допустимую алгебру. Установлена взаимосвязь между указанными алгебрами, симметриями операторных уравнений и механикой бесконечномерных систем.
Рассмотрена краевая задача для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами пространственных переменных в старших членах. Построено специальное разбиение области, индуцированное разностным оператором. Получены условия существования гладких решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Построены контрпримеры, показывающие, что решение может иметь всюду плотное в области множество точек разрыва первой производной.
Исследована модификация известного метода тест-функций, направленная на исследование некоторых новых классов нелинейных неравенств и систем с дробными степенями лапласиана. Получены достаточные условия единственности тривиального решения, основанные на оценках для дробного лапласиана, для случая эллиптических неравенств, систем таких неравенств, и соответствующих параболических задач.
Получены асимптотические разложения пространственно дискретных двумерных тепловых ядер (функций Грина оператора теплопроводности на решетках) по степеням переменной времени с точностью до произвольного заданного порядка. Получены оценки для остатка, равномерных по всей решетке.
Для квазилинейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сверточными членами найдены достаточные условия отсутствия глобальных решений.
Показано, что формула следов Лифшица – Крейна не обобщается на случай пар некоммутирующих самосопряжённых операторов. Показано, что при p>2 существуют две пары некоммутирующих самосопряжённых операторов такие, что их разность входит в класс Шаттена фон Неймана Sp и существует функция класса Бесова с индексами бесконечность, 1, 1 такая, что разность функций от пар этих операторов не входит в Sp.
Интегралы типа Меллина–Барнса и типа Эйлера применены для получения аналитического продолжения функции Лауричеллы в окрестности ее особых многообразий. Исследована сходимость многомерных гипергеометрических рядов, с помощью которых выписываются формулы аналитического продолжения этой функции по всем переменным в N-мерное комплексное пространство, а также разработан вычислительный алгоритм, позволяющий эффективно вычислять такие ряды. Разработанный алгоритм применен к высокоточному вычислению емкостей и других конформных инвариантов сложных областей, ограниченных многоугольными контурами.
