Чат
RUDN
RUS
RUS ENG FR ESP CN AR
Cookie-файлы
Этот сайт использует файлы cookie. Собранная при помощи cookie информация не может идентифицировать вас, однако может помочь нам улучшить работу нашего сайта. Продолжая использовать сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie.
Хорошо
Подробнее
Наука
Ученые в РУДН
Апушкинская Дарья Евгеньевна

Апушкинская Дарья Евгеньевна

Доктор физико-математических наук, профессор Математического института им. С.М. Никольского, старший научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева СПбГУ, приват-доцент Университета земли Саар (Германия) (Saarland University, Germany)

Хорошая задача возникает из приложений.

+7 (495) 955-07-65
apushkinskaya-de@rudn.ru
Связаться с ученым
Научные интересы:
эллиптические и параболические задачи априорные оценки апостериорные оценки задачи со свободными границами задачи гистерезисного типа задачи с препятствиями задачи с тонкими препятствиями оценки расстояния до точных решений вариационные задачи задачи Вентцеля сильная разрешимость максимальная регулярность исчезновение средних колебаний принцип граничной точки лемма о нормальной производной лемма Хопфа-Олейник непрерывность Дини контрпримеры неидеальное реле формулы монотонности квадратичные оценки роста обобщенные ньютоновские жидкости анизотропные диссипативные потенциалы
1990

Окончила математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ) с красным дипломом.

1993

Защитила кандидатскую диссертацию «Задача Вентцеля для нелинейных параболических уравнений» (Phd thesis: “Nonstationary Venttsel problem for nonlinear parabolic equations”).

1993-1996

Работала в Санкт-Петербургском архитектурно-cтроительном университете ассистентом кафедры высшей математики.

1996-1998

Постдок в Австралийском Национальном университете, Канберра, Австралия (Australian National University, Canberra, Australia).

1999

Постдок в Институте Миттаг-Леффлер (Стокгольм, Швеция) (Insitute Mittag-Leffler, Stockholm, Sweden).

2000

Научный сотрудник НИИ математики и механики им. В.И. Смирнова, СПбГУ.

2001-н.в.

Научный сотрудник и приват-доцент факультета математики и информатики, Университет земли Саар (Саарбрюккен, Германия) (Research Fellow/ Privat-Dozentin, Faculty of Mathematics and Informatics, Saarland University, Saarbrücken, Germany).

2011

Приглашенный ученый в Mathematical Science Research Institute (MSRI), Berkeley, USA. Приглашенный ученый в Mathematical Bioscience Institute, Columbus, USA.

2013

Защитила докторскую диссертацию «Задачи со свободными границами: свойства регулярности вблизи фиксированной границы» в Университете земли Саар (Habilitation, “Free Boundary Problems: Regularity Properties Near the Fixed Boundary”, Saarland University).

2014

Приглашенный ученый в Isaac Newton Institute for Mathematical Science, Cambridge, UK.

2018

Приглашенный профессор в Политехническом университете г. Бари, Италия (Politecnico di Bari, Italy).

2018-н.в.

Старший научный сотрудник лаборатории им. П.Л. Чебышева СПбГУ, профессор Математического института им. С.М. Никольского РУДН.

Издательская деятельность

  • Associated Editor «Complex Variables and Elliptic Equations» (2017).
  • Неоднократный приглашенный редактор спецвыпусков журнала «Алгебра и анализ».

Преподавание

  1. В РУДН читает курсы «Математический анализ» (направление «Математика»), «Дифференциальные уравнения» (направление «Математика» и «Математика и компьютерные науки»), «Математическое моделирование» и «Методы исследования операций и теория игр» (направление «Прикладная математика»), «Дифференциальные и разностные уравнения» (направление «Фундаментальная информатика и информационные технологии»).
  2. В 2018 г. читала курс «Partial Differential Equations and Boundary Value Problems» студентам и аспирантам на факультетe механики, математики и менеджмента в Политехническом университете г. Бари, Италия (Politecnico di Bari, Italy).
  3. 2003-2017 гг. читалa курсы по уравнениям в частных производных, задачам со свободными границами, дифференциальной геометрии, высшей математики для инженеров, высшей математики для химиков, вариационному исчислению, математики для информатиков, в том числе исторический курс «Женщины в истории математики» студентам и аспирантам на математическом факультете университета земли Саар, Саарбрюккен, Германия (Saarland University, Saarbrücken, Germany).
  4. Многократно приглашалась для научных визитов и лекций в Финляндию, Португалию, Францию, Австрию, США, Германию, Данию, Швецию, Японию, Австралию, Израиль и другие страны, в частности:
    • 2020 – Saarland University (Germany), ПОМИ РАН (Россия);
    • 2019 – Olomouc (Czech Republic), Strobl (Austria);
    • 2018 – University of Jyväskylä (Finland), University of Innsbruck (Austria), University of Salerno (Italy), ПОМИ РАН (Россия), University of Münster (Germany), University of Kassel (Germany).

Научные интересы

Задачи Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений

Получены исчерпывающие результаты о существовании и регулярности решений одно- и двухфазных задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с условием второго порядка по касательным переменным на границе области или на поверхности раздела фаз включением членов первого порядка по всем переменным (полный градиент). Условия Вентцеля представляют собой наиболее общие допустимые краевые условия, включающие как частные случаи условия Дирихле, Неймана, условие с наклонной производной и смешанные условия. Задачи с условиями Вентцелевского типа возникают во многих областях науки и техники (гидродинамика, электродинамика и теория упругости, инженерные задачи нефтедобычи и некоторые вопросы финансовой математики).

Регулярность и апостериорные оценки в задачах со свободными границами

Установлена оптимальная регулярность решений для одно- и двухфазных эллиптических и параболических задач со свободными границами, включая задачи гистерезисного типа. Исследована регулярность свободных границ в окрестности точек пересечения свободных и фиксированных границ.

Проведено математическое моделирование плавления вольфрамовых пластинок после воздействия импульсного электронного пучка. Построена математическая модель вихревого движения в сверхпроводниках второго рода на основе параболической задачи со свободными границами. Проведено моделирование начальной фазы регулируемого экзоцитоза в клетках человека и формирования фузионной поры в плазматической мембране в виде параболической задачи со свободными границами.

Для ряда задач со свободными границами получены количественные оценки отклонения точного решения от приближенного. Оценки справедливы для любого приближенного решения независимо от метода, которым оно было получено. Вычисление оценок не требует знания точного решения и использует только данные задачи и приближенное решение. Полученные оценки обеспечивают гарантированную верхнюю границу ошибки (мажоранту ошибки) и обращаются в нуль тогда и только тогда, когда приближенное и точное решения совпадают.

Краевые задачи для нелинейных уравнений в «плохих» областях и с «плохими коэффициентами»

Получены априорные оценки и доказаны теоремы существования для эллиптических и параболических уравнений второго порядка (либо с сингулярными коэффициентами, либо в областях с негладкими границами). Начиная с работ Ньютона и Эйлера многие модели естественных наук описываются дифференциальными уравнениями. Однако в ХХ веке выяснилось, что классических дифференциальных уравнений оказывается недостаточно, потому что во многих моделях, возникающих в физике, биологии, экономике и в других областях, требуется рассматривать уравнения сложной структуры с негладкими коэффициентами или в областях с «плохими» границами.

Вариационные задачи для функционалов с нестандартным ростом

Исследована гладкость обобщенных минимайзеров в вариационных задачах для функционалов с нестандартными условиями роста. Доказан ряд теорем существования и единственности, а также утверждения о регулярности (или частичной регулярности) минимайзеров.

Исследование математических моделей в задачах физики твердого тела

Построена математическая модель, описывающая эффект возникновения эхо-сигналов при многоимпульсном возбуждении сложными сигналами, в том числе и с шумовым заполнением. Разработан алгоритм, позволяющий прогнозировать время появления эхо-сигналов. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показало хорошее совпадение для различных типов возбуждающих импульсов.

История математики

Биографии российских математиков, истории женщин в математике.

Исследование математических моделей для определения оптимальных Методов Улучшения Нефтеотдачи (МУН)

Апушкинская Д.Е., Назаров А.И., Палагачев Д.К., Cофтова Л.Г. Квазилинейная параболическая задача Вентцеля с разрывными старшими коэффициентами // Функц. анализ и его прил., 57:2 (2023). С. 93–99.
Получены новые результаты о сильной разрешимости в пространствах Соболева квазилинейной задачи Вентцеля для параболических уравнений с разрывными старшими коэффициентами.
Марков А.С., Котляров Е.Ю., Аносова Н.П., Попов В.А., Карандашев Я.М., Апушкинская Д.Е. Использование нейронных сетей для выявления аномалий на рентгеновских снимках, полученных на сканерах персонального досмотра // Автомат. и телемех. 2022, 10. С. 23–34.
В данной работе рассматривается решение задачи выявления аномалий на рентгеновских снимках, полученных сканерами персонального досмотра (СПД). В работе описана последовательность и описание методов предобработки изображений, с помощью которых оригинальные изображения, полученные на СПД, преобразуются к изображениям с визуально различимыми аномалиями. Приведены примеры обработанных снимков. Показаны первые (предварительные) результаты использования нейронной сети для выделения аномалий.
Апушкинская Д.Е., Лазарева Г.Г., Окишев В.А. Влияние численной диффузии на скорость роста вязких пальцев при численной реализации модели Писмана методом конечных объемов // СМФН, 68:4 (2022). С. 553–563.
Рассмотрена численная модель вытеснения нефти смесью воды и полимера на основе модели Писмана. Проведены численные эксперименты с помощью пакета DuMux, представляющего собой программную библиотеку, предназначенную для моделирования нестационарных гидродинамических задач в пористых средах. Пакет программ использует вариант метода конечных объемов «vertex-centered». Исследовано влияние диффузии на скорость роста «вязких пальцев». Получены зависимости скорости переднего фронта от значения модельной диффузии для трех моделей вязкости. Показано, что влияние численной диффузии на скорость роста «вязких пальцев» ставит ограничения на расчеты при малых значениях модельной диффузии.
Апушкинская Д.Е., Назаров А.И. Лемма о нормальной производной и вокруг неё // УМН, 77:2(464) (2022). С. 3–68.
В настоящем обзоре дано описание истории и современного состояния одного из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, связанного с сильным принципом максимума и принципом граничной точки (леммой о нормальной производной).
Апушкинская Д.Е., Лазарева Г.Г. Алгоритм численного решения задачи Стефана и его применение к расчетам температуры вольфрама при импульсном воздействии // СМФН, 67:3 (2021). С.442–454.
В работе представлено численное решение задачи Стефана для расчета температуры образца вольфрама, нагреваемого лазерным импульсом. Математическое моделирование проводится для анализа натурных экспериментов, где наблюдается мгновенный нагрев пластинки до 9000 K за счет воздействия на её поверхность теплового потока и последующее охлаждение. Задача характеризуется нелинейными коэффициентами и граничными условиями. Важную роль играет учет испарения металла с нагреваемой поверхности. Для реализации выбран метод сплошного счета с использованием формулировки уравнения теплопроводности в единообразной форме во всей области с применением дельта-функции Дирака, основанный на подходе А.А. Самарского. Численный метод имеет второй порядок аппроксимации по пространству, интервал сглаживания коэффициентов составляет 5 К. В результате получены распределения температуры на поверхности и в поперечном сечении образца в процессе охлаждения.
Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I., Palagachev D.K., Softova L.G. Venttsel boundary value problems with discontinuous data // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2021 53(1), pp. 221-252.
В статье изучаются линейные и квазилинейные краевые задачи Вентцеля для эллиптических операторов с разрывными коэффициентами. На основе полученных априорных оценок установлена максимальная регулярность решения и доказана сильная разрешимость в пространствах Соболева.
Апушкинская Д.Е., Репин С.И. Бигармоническая задача с препятствием: гарантированные и вычисляемые оценки ошибок для приближенных решений // Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 60, № 11, 2020. С. 61-77.
В статье рассматривается эллиптическое вариационное неравенство, возникающее в задаче с препятствием для бигармонического оператора. Изучаются оценки разности между точным решением (минимайзером) соответствующей вариационной задачи и произвольной функцией из энергетического класса, которая удовлетворяет поставленным краевым условиям и ограничениям, связанным с препятствием. Используя общую теорию, построенную для выпуклых вариационных задач, получено тождество, одна часть которого характеризует величину отклонения функции (аппроксимации) от точного решения, а другая является вычисляемой величиной (она зависит только от данных задачи и известных функций). Использование этого тождества в практических вычислениях позволяет оценить качество полученных приближенных решений. Использующаяся в тождестве мера отклонения от точного решения содержит различные слагаемые. Два из них задаются нормами разности между точными решениями прямой и двойственной вариационных задач и их аппроксимациями соответственно. Два других, вообще говоря, не представимы в виде норм и являются нелинейными мерами, которые обращаются в ноль, если коинцедентное множество, построенное по приближенному решению, удовлетворяет некоторым условиям (например, совпадает с точным коинцедентным множеством). Тождество верно для любых допустимых (конформных) аппроксимаций прямой переменной, но содержит некоторые ограничения на двойственную переменную. В статье показано, что эти ограничения могут быть сняты, но при этом тождество заменяется на неравенство. Последнее дает явно вычисляемую мажоранту величины отклонения от точного решения данной нелинейной задачи для любых аппроксимаций прямой и двойственной вариационных задач. Приводится ряд примеров, которые иллюстрируют установленные тождества и неравенства.
Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I., Palagachev D.K., Softova L.G. Lp theory of Venttsel BVPS with discontinuous data // AAPP Atti della Accademia Peloritana, Classe di Science Fisiche, Matematiche e Naturali, Vol. 98, 2020, pp. A1.
В работе приведены априорные W<sup>2,</sup><sup>p</sup>-оценки сильных решений краевых задач Вентцеля для линейных эллиптических операторов с разрывными коэффициентами.
Apushkinskaya D.E., Apushkinskiy E.G. Prediction of echo from noise signals by means of nonlinear transform of signal spectra // Springer Proceedings in Complexity, 2020, pp.29-36.
В данной заметке описывается алгоритм, позволяющий прогнозировать время появления эхо-сигналов при многоимпульсном шумовом возбуждении. Методика подтверждена экспериментами с образцами 59Co.
Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I., Palagachev D.K., Softova L.G. Elliptic Venttsel problems with VMO coefficients // Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. IX. Ser., Rend. Lincei. Mat. Appl., Vol. 31, No. 2, 2020, pp. 391-399.
В работе сообщается о новых результатах о сильной разрешимости линейных и квазилинейных краевых задач Вентцеля с разрывными старшими коэффициентами.
Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I. On the Boundary Point Principle for divergence-type equations // Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. IX. Ser., Rend. Lincei. Mat. Appl., Vol. 30, No. 4, 2019, pp. 677-699.
В статье приводятся несколько вариантов леммы о нормальной производной известной также как лемма Зарембы-Хопфа-Олейник.
D. Apushkinskaya. Free Boundary Problems: Regularity Properties Near the Fixed Boundary. // Lecture Notes in Mathematics 2218, Springer, 2018.
The book is concerned with several elliptic and parabolic obstacle-type problems with a focus on the cases where the free and fixed boundaries meet. The results presented complement those found in existing books in the subject, which mainly treat away from the fixed boundary. The topics include optimal regularity, analysis of global solutions, tangential touch of the free and fixed boundaries, as well as Lipschitz- and C<sup>1,α</sup>-regularity of the free boundary. Special attention is given to local versions of various monotonicity formulas. The intended audience includes research mathematicians and advanced graduate students interested in problems with free boundaries.
Апушкинская Д.Е. Задачи со свободными границами: свойства регулярности вблизи фиксированной границы.
Монография посвящена ряду эллиптических и параболических задач типа задачи с препятствием. Особое внимание уделено случаям контакта свободных и фиксированных границ. Представленные результаты существенно дополняют известные книги по свободным границам, в которых исследовались ситуации далеко от фиксированных границ. Материалы книги включают результаты по оптимальной регулярности решений, анализ решений задач во всем пространстве, описание свойств точек контакта между свободными и фиксированными границами, а также липшицевость и C<sup>1,α</sup> -регулярность свободных границ. Подробно изучены локальные варианты различных формул монотонности. Целевая аудитория в основном состоит из исследователей и аспирантов, интересующихся задачами со свободными границами.
Коллективная монография Математический Петербург: История, наука, достопримечательности. СПб.: Образовательные проекты, 2018. 336 с.
Три века развития математики в Санкт-Петербурге: история научных направлений и судьбы выдающихся математиков в связи с историей города. Памятные места и адреса, учебные и научные учреждения, музеи, библиотеки, архивы, маршруты экскурсий с картами; архивные фотографии. Для математиков, математической молодежи, любителей истории математики и истории Санкт-Петербурга.
Arakcheev A.S., Apushkinskaya D.E., Kandaurov I.V., Kasatov A.A., Kurkuchekov V.V., Lazareva G.G., Maksimova A.G., Popov V.A., Snytnikov A.V., Trunev Yu.A., Vasil’ev A.A., Vyacheslavov L.N. Two- dimensional numerical simulation of tungsten melting in exposure to pulsed electron beam // Fusion Engineering and Design, Vol. 132, 2018, pp. 13-17.
В работе проведено численное моделирование процесса плавления поверхности вольфрама, подвергнутой импульсному электронному пучку. Сравнение экспериментально измеренной на установке БЕТА временной зависимости радиуса расплавленного участка с расчетными данными показало, что охлаждение поверхности, вызванное испарением, оказывает значительное влияние на распределение температуры и плавление материала при достаточно высоких плотностях поверхностного нагрева. Этот результат подтверждает созданную теоретическую модель плавления и испарения вольфрама под воздействием импульсного пучка электронов. Изученный механизм ограничения поверхностной температуры отличается от хорошо изученного паронепроницаемого экранирования. Представленная модель является шагом к правильной интерпретации эрозии, вызванной движением расплава и разбрызгиванием при импульсном нагреве пучком электронов.
Апушкинская Д.Е., Уральцева Н.Н. Формула монотонности для задачи с гистерезисом // ДАН, Т. 478, № 4, 2018. С. 379-381.
Получена новая формула монотонности для задачи с разрывными нелинейностями, возникающей при моделировании различных процессов, обладающих “эффектом памяти”.
Apushkinskaya D.E., Repin S.I. Thin obstacle problem: Estimates of the distance to the exact solution // Interfaces and Free Boundaries, 2018 20(4), pp. 511-531.
В статье рассматриваются эллиптические вариационные неравенства, порожденные задачами с тонким препятствием. Для этого класса задач мы устанавливаем оценки расстояния (вычисленного в терминах энергетической нормы) между точным решением и произвольной функцией, которая удовлетворяет граничному условию и принадлежит классу допустимых функций по отношению к препятствию. Данные оценки справедливы для любого приближенного решения независимо от метода, которым оно было получено. Вычисление данных оценок не требует знания точного решения и использует только данные задачи и приближенное решение. Полученные оценки обеспечивают гарантированную верхнюю границу ошибки (мажоранту ошибки) и обращаются в нуль тогда и только тогда, когда приближенное и точное решения совпадают. В последнем разделе статьи эффективность мажорант ошибок подтверждается примером, в котором известно точное решение.
Apushkinskaya D., Apushkinskiy E. Numerical simulation in nonlinear dynamic systems with retiming of motions of individual components // J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 936, 2017, pp. 012043.
В работе исследуются дифференциальные уравнения, описывающие нелинейные процессы в динамических системах (макросистемах), которые состоят из большого количества компонентов (микросистем) и позволяют синхронизировать поведение этих компонент. В физике такие процессы лежат в основе эхо-феноменов. Предлагается эмпирическое решение таких уравнений. Решение дано в виде разложения в ряд по спектрам внешних возмущений, действующих на макросистему. Численное моделирование этого решения показывает хорошее соглашение с экспериментально наблюдаемыми эхо-явлениями.
Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I. A counterexample to the Hopf-Oleinik lemma (elliptic case) // Analysis & PDE, 2016 9(2), pp. 439-458.
В работе построен контрпример к лемме Хопфа-Олейник о граничных точках. Он показывает, что для локально выпуклых областей условие гладкости C<sup>1,Dini</sup> на границу области ∂Ω является необходимым и достаточным для выполнения оценок типа Хопфа-Олейник.
Apushkinskaya D., Uraltseva N.N. On regularity properties of solutions to hysteresis-type problems // Interfaces and Free Boundaries, Vol. 17, No. 1, 2015, pp. 93-115.
В работе изучаются уравнения с простейшим оператором гистерезиса в правой части. Такие уравнения описывают так называемые процессы "с памятью", в которых различные вещества взаимодействуют по закону гистерезиса. Мы ограничимся рассмотрением "сильных решений" из класса Соболева с достаточно большим q и докажем, что на самом деле q равно бесконечности. Другими словами, мы устанавливаем оптимальную гладкость решений. Наши аргументы основываются на оценках квадратичного роста решений вблизи свободной границы.
Apushkinskaya D., Apushkinskiy E., Astrov M. Movement of a vortex filament near oscillating pinning centers in the hard superconductor // J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 633, 2015, pp. 012114.
Рассмотрена задача о поведении вихря вблизи колеблющихся центров пиннинга в сверхпроводниках III типа. Движение вихря описывается параболической задачей со свободной границей, где априорно неизвестная свободная граница - это совокупность точек, в которых происходит переход из сверхпроводящего в нормальное состояние и наоборот. Приведен ряд утверждений о качественных свойствах фазовой границы сверхпроводник-непроводник.
Apushkinskaya D., Apushkinskiy E., Popov B., Romanov V., Saveliev V., Sobolevskiy V. Analysis of paramagnetic centers for threevalent iron in aluminosilicates // J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 633, 2015, pp. 012115
В работе приведены результаты исследования дефектов алюмосиликатов фтора из волнового поля Al2[SiO4][F,OH]2 методом электронно-парамагнитного резонанса (ЭПР). Исследования проводились на спектрометре Bruker ER 220D. Получены три типа ЭПР-спектров одиночных центров. Также исследована их угловая зависимость. Полученные спектры ЭПР соответствуют парамагнитному иону Fe3+ в состоянии высокого спина S=5⁄2. Найдены три типа парамагнитных центров: один с кубической симметрией и два с ортомбической симметрией.
D.E. Apushkinskaya, N.N. Uraltseva. Free boundary problems with hysteresis // Philosophical Transactions of the Royal Society, 2015 373, pp. 201402711.
В статье представлен обзор параболических задач со свободными границами, содержащих разрывный оператор гистерезисного типа. Такие задачи описывают биологические и химические процессы «с памятью», в которых различные вещества взаимодействуют по закону гистерезиса. Наша основная цель – обсудить структуру свободных границ и свойства так называемых «сильный решений», принадлежащих анизотропному классу Соболева W<sub>q</sub><sup>2,1</sup> с достаточно большим показателем q. Приведен также список открытых проблем в данном направлении.
Apushkinskaya D., Bildhauer M., Fuchs M. Steady States of Anisotropic Newtonian Fluids // Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2005 7, pp. 261-297.
В статье изучается стационарное течение обобщенной ньютоновской жидкости, которое моделируется анизотропным диссипативным потенциалом f.