Буренков Виктор Иванович

Наука

• Разработал ряд оригинальных подходов и методов. Его метод операторов усреднения с переменным шагом и сдвигом позволил получить основополагающие результаты в приближении функций, принадлежащих общим функциональным пространствам, бесконечно дифференцируемых функций, в частности, с сохранением граничных значений, и особенно в задаче о продолжении функций из пространств Соболева. Построенный с помощью этого метода оператор продолжения функций из пространств Соболева с сохранением или минимальным ухудшением дифференциальных свойств упоминается как оператор продолжения Буренкова. С его помощью Виктор Иванович Буренков и Александр Львович Горбунов получили точные относительно порядка гладкости оценки для минимальной нормы оператора продолжения. Его статья о суперпозиции абсолютно непрерывных функций была представлена в Доклады АН СССР Андреем Николаевичем Колмогоровым и полученный в ней результат цитируется как теорема Буренкова.
• Разработал метод дробного дифференцирования априорных неравенств, что позволило получить необходимые и достаточные условия условной гипоэллиптичности дифференциальных операторов с частными производными с постоянными коэффициентами. Это направление в дальнейшем было развито группой исследователей из Еревана во главе с Гайком Гегамовичем Казаряном. В их работах вышеупомянутый результат приводится как теорема Буренкова об условной гипоэллиптичности, и этот тип гипоэллиптичности называется гипоэллиптичностью по Буренкову.
• Внес большой вклад в разделы математики, связанные с математическим анализом и дифференциальными уравнениями. Профессор Буренков – признанный в мире специалист в теории функциональных пространств, особенно пространств Соболева и пространств с дробным порядком гладкости, и ее применениях. Произвел важные исследования по теории дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений, в частности, по теории гипоэллиптических уравнений, спектральной теории дифференциальных операторов и теории некорректных задач.
• Профессор Буренков – основоположник исследований нового случая конечного интервала. Толчок новому направлению дали работы по неравенствам для промежуточных производных с точными постоянными. Точные константы были также найдены в некоторых неравенствах разных метрик, неравенствах типа Маркова для многочленов и, совместно с Владимиром Анатольевичем Гусаковым, в некоторых теоремах вложения для пространств Соболева. Точные константы в некоторых неравенствах типа Харди были получены совместно со шведскими математиками J. Bergh и Lars-Erik Persson.
• Доказаны новые типы теорем о мультипликаторах интегралов Фурье для весовых лебеговых пространств с экспоненциальным весами и рассмотрены приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными.
• Построен нелинейный оператор продолжения для предельного случая теоремы о следах для анизотропных пространств Никольского-Бесова, и доказано, что в этом случае линейный оператор продолжения не существует. Профессор Буренков совместно с профессором Михаилом Львовичем Гольдманом исследовали взаимосвязь между нормами широкого класса операторов в общих нормированных функциональных пространствах и нормами в их периодических аналогах. Эти результаты позволяют переносить многие утверждения, доказанные для непериодического случая, на периодический случай и, наоборот, с периодического случая – на непериодический.
• Разработаны новые гибкие методы построения регуляризированных приближенных решений интегральных уравнений типа свертки, связанных с геофизическими проблемами. В основе – применение пространств с малой дробной гладкостью. Эти методы оказались более эффективными, чем традиционные подходы, основанные на использовании пространств Соболева.
• Сотрудничал с профессором Эвансом (William Desmond Evans) с Факультета математики Кардиффского университета (School of Mathematics, Cardiff University, г.Кардифф, Великобритания), что привело к публикации работ по весовым интегральным неравенствам и часто цитируемой работы по квантовой механике V. I. Burenkov, W. D. Evans, “On the evaluation of the norm of an integral operator associated with the stability of one-electron atoms”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 128:5 (1998), 993–1005.
• Эксперт в теории операторов в общих пространствах типа Морри:
  • Были получены для широкого диапазона числовых параметров необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, обеспечивающие ограниченность многих классических операторов действительного анализа (максимального оператора, дробного максимального оператора, потенциала Рисса, оператора Харди, истинных сингулярных интегралов, операторов Хаусдорфа) из одного общего локального пространства типа Морри в другое. В случае максимального оператора и дробного максимального оператора исследование было проведено совместно с Вагифом Сабировичем Гулиевым – д.ф-м.н., профессором, членом-корреспондентом Национальной академии наук Азербайджана (г. Баку, Азербайджан).
  • Выяснил, что локальные пространства типа Морри, в отличие от глобальных, удобны для целей интерполяции. Было доказано, что шкала локальных пространств типа Морри замкнута относительно вещественного метода интерполяции. Исследование проведено совместно с Ерланом Даутбековичем Нурсултановым – д.ф-м.н., профессором (Механико-математический факультет Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева – г.Астана, Казахстан).
  • Получил аналог неравенства Юнга для сверток функций для глобальных пространств типа Морри, который имеет форму, отличную от формы классического неравенства Юнга для лебеговых пространств, и может быть использована в различных приложениях. Результаты опубликованы в работе в соавторстве с Тамарой Васильевной Тарарыковой – научным сотрудником факультета Математики Университет Кардиффа (Cardiff University, г. Кардифв, Великобритания).
• Эксперт в области получения точных спектральных оценок устойчивости для собственных чисел самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов:
  • Первым опубликовал работу о спектральной устойчивости оператора Лапласа с однородными граничными условиями Неймана – в соавторстве с президентом Лондонского математического общества Эдвардом Дэвисом (Edward Brian Davies) - профессором математики Королевского колледжа Лондона (King’s College London, KCL – г. Лондон, Великобритания).
  • Разработал метод операторов перехода – совместно с итальянским математиком Пьером Ламберти (Pier Domenico Lamberti) - профессором Факультета математики Университета Падуи (г. Падуя, Италия). Метод позволил получить точные изменения собственных чисел при возмущении области определения через эффективные геометрические характеристики близости исходной и возмущенной областей определения для эллиптических операторов произвольного четного порядка, заданных на открытых множествах, допускающих сколь угодно сильное вырождение как для случая однородных граничных условий Дирихле, так и для условий Неймана. Эти результаты цитируется как теоремы Буренкова – Ламберти.
  • Рассмотрел случай третьей краевой задачи (задачи Робина) вместе с итальянским математиком Массимо де Кристофорис (Massimo Lanza de Cristoforis) - профессором Факультета математики Университета Падуи (г. Падуя, Италия).
  • Применил конформные отображения к проблеме спектральной устойчивости для двумерного оператора Лапласа. Исследование проведено совместно с Владимиром Гольдштейном и Александром Ухловым, профессорами Факультета математики Университета имени Бен-Гуриона (Ben-Gurion University of the Negev, BGU – г. Негев, Израиль).
  • Получены результаты по устойчивости сингулярных чисел несамосопряженных эллиптических операторов в совместном исследовании с д.ф.-м.н., профессором Мухарбаем Отелбаевичем Отелбаевым – действительным членом НАН Республики Казахстан,
    профессором Механико-математического факультета Евразийского университета имени Л.Н. Гумилева. Результаты имеют приложения к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными и численным методам, связанным с вычислением собственных чисел.
  • Изучается получение точных спектральных оценок устойчивости для собственных функций при возмущении области определения. Некоторые результаты в этом направлении были получены В.И. Буренковым совместно с Герасимосом Барбатисом (Gerasimos Barbatis), профессором факультета математики Афинского национального университета имени Каподистрии (the National and Kapodistrian University of Athens, NKUA – г. Афины, Греция), профессором Ламберти (P.D. Lamberti, Факультет математики Университета Падуи, Италия) и Эрмалом  Фелеки (Ermal Feleqi), профессором Факультета математики Университета «Исмаил Кемали» (Universiteti "Ismail Qemali" i Vlorës – г. Влёра, Албания).
• Опубликовано свыше 180 статей. Сделано более 100 пленарных докладов на конференциях и по приглашениям университетов в 30 странах.
• Один из основателей и главный редактор международного журнала «Eurasian Mathematical Journal» (совместно с академиком Российской академии наук Виктором Антоновичем Садовничим и академиком Национальной академии наук Казахстана Мухтарбаем Отелбаевичем Отелбаевым).

Научные интересы

• Теория функций и функциональный анализ (пространства Соболева, пространства Никольского-Бесова, общие пространства типа Морри, теория интерполяции).
• Дифференциальные уравнения с частными производными (гипоэллиптические уравнения, спектральная устойчивость).
• Интегральные уравнения (некорректные задачи).
• Приложения к геофизике, квантовой механике, численным методам, теории радаров, акустике.