Маламуд Марк Михайлович
Доктор физико-математических наук
Профессор Математического института им. С.М. Никольского ,
математический институт им. с.м. никольского
Развивать новые теории, которые в конечном счете окажутся эффективными при решении старых и новых задач.
1972
Выпускник кафедры математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета. Специальность – «Математика» (научный руководитель – профессор Э.Р. Цекановский).
1971-1976
Работал в Институте экономики промышленности АН УССР.
1976-1978
Инженер в донецком НИИ угольной промышленности.
1977
Защитил кандидатскую диссертацию «О приведении несамосопряженных операторов к простейшему виду».
1978-1994
Ассистент (до 1991 г.), доцент кафедры математической физики Донецкого политехнического института.
1991
Присвоено ученое звание доцента.
1994-2007
Доцент кафедры математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета.
2006
Преподавал в Университете штата Мичиган (Michigan State University – MSU, США).
2007 – 2017
Ведущий научный сотрудник Института прикладной математики и механики Национальной академии наук Украины.
2010
Защитил докторскую диссертацию «Вопросы единственности, полноты и само-сопряженности в краевых задачах для систем ОДУ».
2018 – н.в.
Профессор Математического института им. С.М. Никольского РУДН.
Член редколлегии международных математических журналов:
- Mathematische Nachrichten, Germany;
- Methods of Functional Analysis and Topology (MFAT);
- Ukrainian Mathematical Bulletin, Ukraine.
Член профессиональных/научных сообществ:
- Американское математическое общество (American Mathematical Society);
- Международная ассоциация математической физики (International Association of Mathematical Physics).
Преподавание
В период 1994-2014 г. читал для студентов магистратуры ряд специальных курсов:
- Теория целых функций;
- Обратные задачи для уравнения Штурма-Лиувилля;
- Теория расширений симметрических операторов и ее применения к граничным задачам;
- Вопросы полноты и базисности системы корневых векторов для несамосопряженных граничных задач;
- Спектральная теория операторов (семинар);
Под научным руководством М.М. Маламуда 10 аспирантов Донецкого национального университета защитили кандидатские диссертации, а 2 из них – докторские диссертации.
Наука
- Рассмотрены системы дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале с невырожденной диагональной матрицей B при производной и суммируемой потенциальной матрицей Q, имеющей нулевую диагональ. Доказано, что потенциальная матрица Q однозначно определяется по матрице монодромии W(λ). В случае В=В* указано минимальное число элементов матрицы W(λ), достаточное для однозначного определения матрицы Q. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка построены треугольные операторы преобразования. Решена обратная задача о восстановлении потенциальной матрицы по спектральной матрице функции. Результат применен для описания спектральных типов системы типа Дирака.
- Исследованы спектральные свойства операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями. В рамках теории расширений изучается одномерный симметрический оператор Шрёдингера HX,α с d-взаимодействиями на дискретном множестве. Применяя аппарат граничных троек и соответствующих им функций Вейля, найдена связь операторов HX,α с одним классом матриц Якоби. Обнаруженная связь позволила получить условия самосопряженности, полуограниченности снизу, дискретности спектра, а также дискретности отрицательной части спектра исследуемого оператора.
- Исследованы детерминанты возмущения и формулы следов для пар диссипативных и самосопряженных операторов. Развит метод двойных операторных интегралов для доказательства формул следов для функций сжатия, диссипативных операторов, унитарных операторов и самосопряженных операторов.
- Изучены абсолютно непрерывный спектр и матрица рассеяния операторов различных классов. Найдена формула для матрицы рассеяния (S-матрицы), выражающая ее через предельные значения функции Вейля и граничные операторы. Для эллиптических граничных задач во внешних областях найдена формула, выражающая S-матрицу через оператор-функцию Дирихле-Неймана. Найдена связь с теорией рассеяния Лакса-Филипса.
- Изучены вопросы полноты и базисности Рисса систем корневых векторов граничных задач для систем ОДУ. Введена новая концепция слабо регулярных граничных условий для n × n систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянной диагональной матрицей B при первой производной. Доказано, что система корневых функций краевых задач такого типа на конечном интервале полна и минимальна. Также было установлено выполнение свойства базиса Рисса для некоторых классов граничных условий. Для 2 × 2 системы типа Дирака с суммируемой потенциальной матрицей было установлено свойство базисности Рисса для строго регулярных граничных условий.
- Опубликовано более 150 научных статей в центральных международных математических журналах, в том числе в Journal of Functional Analysis, Journal of Differential Equations, Annales Henri Poincaré, Advances in Mathematics, Transactions of American Mathematical Society, издана монография Деркач В. А., Маламуд М. М. «Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи», Киев, 2017.
Научные интересы
- Обратные спектральные задачи для систем ОДУ.
- Спектральная теория операторов Шредингера и Дирака.
- Детерминанты возмущения и формулы следов для пар несамосопряженных и самосопряженных операторов.
- Матрица рассеяния для пар самосопряженных и несамосопряженных операторов.
- Вопросы полноты и базисности несамосопряженных операторов с дискретным спектром.
Рассматривается симметричный оператор с несколькими лакунами. Хорошо известно (теорема Фридрихса - Крейна), что в случае одной лакуны всегда существует самосопряженное расширение, сохраняющее лакуну. В случае двух и более лакун это не так. В работе решена задача М.Г. Крейна: найден критерий существования самосопряженных расширений, вообще говоря, с выходом из основного гильбертова пространства, которые сохраняют все лакуны.
Рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале с невырожденной диагональной матрицей B при производной и суммируемой потенциальной матрицей Q, имеющей нулевую диагональ. Доказывается, что потенциальная матрица Q однозначно определяется по матрице монодромии W(λ). В случае В=В* указано минимальное число элементов матрицы W(λ), достаточное для однозначного определения матрицы Q.
Получен критерий подобия несамосопряженного оператора с вещественным спектром в гильбертовом пространстве. Приведены некоторые достаточные условия подобия несамосопряженного оператора с хорошо определенной мнимой частью самосопряженному оператору. В частности, доказано, что оператор подобен самосопряженному с абсолютно непрерывным спектром при условии, что $ j $ -формы характеристической функции ограничены в обеих полуплоскостях. Приведены достаточные условия того, что треугольный несамосопряженный оператор подобен самосопряженному. В диссипативном случае указан критерий подобия, обобщающий результат И. Гоберга и М. Крейна.
В статье найдены условия, при которых индексы дефекта гамильтоновых систем первого порядка на полуоси (или оси) были минимальными и максимальными. Кроме того, приведены условия того, чтобы дефектные числа были промежуточными. Это охватывает предыдущие результаты Каца--Крейна, де Бранжа, Когана и Рофе-Бекетова.
Получены также условия самосопряженности матричного четырех-членного уравнения Штурма-Лиувилля. Этот результат существенно обобщает классическую теорему Титчмарша-Сирса и охватывает предыдущие результаты Лидского, Крейна, де Бранжа.
Рассматривается задача Крейна об описании L2-пространства, построенного по операторнозначной (необязательно ортогональной) мерой в гильбертовом пространстве. Разработана спектральная теория операторных мер. В частности, для произвольной операторной меры вводится функция кратности, а также типы Хеллингера. Доказано, что множество всех главных векторов произвольной операторной меры в гильбертовом пространстве является массивным, т.е. является плотным G-множеством. В частности, показано, что множество главных векторов самосопряженного оператора является массивным в любом циклическом подпространстве. Доказано, что подпространства, реализующие типы Хеллингера, существуют и образуют массивное множество.
В рамках теории расширений изучается одномерный симметрический оператор Шрёдингера HX,α с -взаимодействиями на дискретном множестве. Применяя аппарат граничных троек и соответствующих им функций Вейля, найдена связь операторов HX,α с одним классом матриц Якоби. Обнаруженная связь позволила получить условия самосопряженности, полуограниченности снизу, дискретности спектра, а также дискретности отрицательной части спектра исследуемого оператора.
Рассматриваются замкнутые (в частности, самосопряженные) реализации эллиптического дифференциального выражения второго порядка на гладкой (ограниченной или неограниченной) области с компактной границей. Получены оценки числа отрицательных собственных значений некоторых самосопряженных расширений неотрицательного минимального оператора. Результаты расширяют и улучшают классические теоремы Вишика, Повзнера, Бирмана и Грубб.
Введена новая концепция слабо регулярных граничных условий для n × n систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянной диагональной матрицей B при первой производной. Доказано, что система корневых функций краевых задач такого типа на конечном интервале полна и минимальна. Также было установлено выполнение свойства базиса Рисса для некоторых классов граничных условий. Для 2 × 2 системы типа Дирака с суммируемой потенциальной матрицей было установлено свойство базисности Рисса для строго регулярных граничных условий.
Исследованы спектральные свойства гамильтониана Шредингера с бесконечным числом точечных взаимодействий. В частности, указаны специальные конфигурации точек, такие что неотрицательные части всех реализаций абсолютно непрерывны. Важная особенность предложенного подхода основана на связи с классом радиально положительно определенных функций.
Указаны широкие классы неотрицательных операторов Шредингера в R^2 и R^3, обладающих следующими свойcтвами:
1. Подходящее множество нулевой меры в R^2(R^3) определяет сужение каждого из таких операторов, являющееся неотрицательным симметрическим оператором (задачи Дирихле) с компактной пререзольвентой.
2. При некоторых дополнительных условиях на потенциал расширение Фридрихса такого сужения имеет непрерывный (иногда абсолютно непрерывный) спектр, заполняющий положительную полуось.
Приведенные результаты дают решение проблемы М. С. Бирмана.
Работа является обзорной. Ее основной объект — бесконечные симметричные блочные матрицы Якоби J с m×m-матричными элементами. Обсуждаются результаты, в которых общие блочные матрицы Якоби являются самосопряженными или могут иметь максимальные либо промежуточные индексы дефекта. Также обсуждаются условия, гарантирующие дискретность спектра матриц Якоби J.
The survey is concerned with triangular transformation operators for fractional order α = n − ε ordinary differential equations. We discuss the existence of transformation operators in the case of holomorphic coefficients. Similarity between such operators and the simplest fractional differentiation is discussed too.
Applications to the unique determination of the operator from n spectra of boundary value problems are given. Applications to the completeness property of certain boundary value problems for such equations are considered.
Маламуд М.М. Операторы преобразования для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка и их приложения // Kravchenko, Vladislav V. (ed.) et al., Transmutation operators and applications. Cham: Birkhäuser. Trends Math., 2020, pp. 539-572.
Краткий обзор, связанный с операторами преобразования для обыкновенных дифференциальных операторов дробного порядка. Установлено существование операторов треугольного преобразования в случае аналитических коэффициентов. Обсуждаются некоторые приложения такого класса операторов преобразования.
Статья посвящена блочным матрицам Якоби, то есть трехдиагональным эрмитовым бесконечным матрицам, в которых каждый элемент матрицы является матрицей p×p, p≥1. Известно, что индексы дефекта n_± соответствующих симметричных операторов удовлетворяют неравенству 0≤n±≤p. Осуществляется поиск новых классов таких матриц, для которых индексы дефекта принимают максимальные или промежуточные значения. Даны приложения к одномерным операторам Дирака с точечными взаимодействиями.
We investigate quantum graphs with an infinite number of vertices and edges without a general restriction on the geometry of the underlying metric graph that there is a positive lower bound on the lengths of its edges. The central result is a close relationship between the spectral properties of a quantum graph and the corresponding properties of some weighted discrete Laplacian on the underlying discrete graph. Using this connection together with the spectral theory of (unbounded) discrete Laplacians on infinite graphs, a number of new results on the spectral properties of quantum graphs are proved. Namely, several self-conjugacy results are proved, including a Gaffney type theorem. The problem of lower half-closure is investigated, several spectral estimates are proved and spectral types are studied.
Экснер П., Костенко А., Маламуд М., Найдхардт Х. Спектральная теория бесконечных квантовых графов // Ann. Henri Poincaré, Vol. 19, No. 11, 2018, pp. 3457–3510.
Исследуются квантовые графы с бесконечным числом вершин и ребер без общего ограничения на геометрию лежащего в основе метрического графа, что существует положительная нижняя граница длин его ребер. Центральный результат – тесная связь между спектральными свойствами квантового графа и соответствующими свойствами некоторого взвешенного дискретного лапласиана на лежащем в его основе дискретном графе. Используя эту связь вместе со спектральной теорией (неограниченных) дискретных лапласианов на бесконечных графах, доказывается ряд новых результатов о спектральных свойствах квантовых графов. А именно, доказывается несколько результатов самосопряженности, включая теорему типа Гаффни. Исследуется проблема нижней полузакрытости, доказывается несколько спектральных оценок и изучаются спектральные типы.
Infinite quantum graphs with δ-interactions at vertices are studied without any assumptions on the lengths of edges of the underlying metric graphs. A connection between spectral properties of a quantum graph and a certain discrete Laplacian given on a graph with infinitely many vertices and edges is established. In particular, it is shown that these operators are self-adjoint, lower semibounded, nonnegative, discrete, etc. only simultaneously.
Костенко А.С., Маламуд М.М., Нейдхардт Х., Экснер П. Бесконечные квантовые графы // Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk, Vol. 472, No. 3, 2017, pp. 253-258.
Бесконечные квантовые графы с δ-взаимодействиями в вершинах изучаются без каких-либо предположений о длинах ребер лежащих в основе метрических графов. Установлена связь между спектральными свойствами квантового графа и некоторым дискретным лапласианом, заданным на графе с бесконечным числом вершин и ребер. В частности, показано, что эти операторы являются самосопряженными, нижними полуограниченными, неотрицательными, дискретными.
Исследуется матричный оператор Шредингера с точечными взаимодействиями на полуоси. Используя теорию граничных триплетов и соответствующие функции Вейля, мы устанавливаем связь между спектральными свойствами исследуемых операторов и блочными матрицами Якоби определенного класса.
Trace formulas are obtained for pairs of self-adjoint, maximal dissipative and accumulative, as well as other types of resolvent comparable operators.
Маламуд М., Нейдхардт Х. Формулы следа для аддитивных и неаддитивных возмущений // Adv. Math., Vol. 274, 2015, pp. 736-832.
Получены формулы следа для пар самосопряженных, максимальных диссипативных и накопительных, а также других типов резольвентных сопоставимых операторов.
Рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале с невырожденной диагональной матрицей B при производной и суммируемой потенциальной матрицей Q, имеющей нулевую диагональ. Доказывается, что потенциальная матрица Q однозначно определяется по матрице монодромии W(λ). В случае B=B^∗ указано минимальное число элементов матрицы W(λ), достаточное для однозначного определения матрицы Q.
The paper is concerned with the completeness property of root functions of general boundary value problems for n×n first order systems of ordinary differential equations on a finite interval. It is shown that the system of root vectors of the general n×n Dirac type system subject to certain boundary conditions forms a Riesz basis with parentheses. We also show that arbitrary complete dissipative boundary value problem for Dirac type operator with a summable potential matrix admits the spectral synthesis in L2([0,1];Cn). Finally, we apply our results to investigate completeness and the Riesz basis property of the dynamic generator of spatially non-homogenous damped Timoshenko beam model.
Лунев А.А., Маламуд М.М. О полноте и свойстве базиса Рисса корневых подпространств краевых задач для систем первого порядка и их приложения // J. Spectr. Theory, Vol. 5, No. 1, 2015, pp. 17–70.
Статья посвящена свойству полноты корневых функций общих краевых задач для n×n систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале.
Показано, что система корневых векторов общей системы типа n × n Дирака при соблюдении определенных граничных условий образует базис Рисса со скобками. Мы также показываем, что произвольная полная диссипативная краевая задача для оператора типа Дирака с суммируемой потенциальной матрицей допускает спектральный синтез в L2 ([0,1];Cn). Наконец, результаты применяются для исследования полноты и базисного свойства Рисса динамического генератора пространственно неоднородной затухающей модели пучка Тимошенко.