Россовский Леонид Ефимович

Россовский Леонид Ефимович

Доктор физико-математических наук, доцент

MATHE MACHT SCHÖN!(Математика создает красоту)

1993

Окончил факультет Прикладной математики Московского авиационного института (МАИ). 

1996

Защитил кандидатскую диссертацию «Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом», Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова (МГУ), научный руководитель - профессор А.Л. Скубачевский.

2003

Получил ученое звание доцента по кафедре дифференциальных уравнений. 

2012

Победитель Второго Всероссийского конкурса Научно-методического совета по математике  Министерства образования и науки Российской Федерации «ЛУЧШЕЕ УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ», номинация «Математика в классических университетах и технических вузах (с усиленной математической подготовкой)» за учебное пособие: «Качественная теория дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений», М.: РУДН, 2008, 190 с.

2013

Защитил докторскую диссертацию «Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатиями и растяжениями аргументов неизвестной функции», Российский университет дружбы народов.

1997-2005

Доцент кафедры дифференциальных уравнений Московского авиационного института.

2005-2015

Доцент кафедры прикладной математики (до 2014 – кафедры дифференциальных уравнений и математической физики) РУДН.

2015-2018

Профессор кафедры прикладной математики РУДН.

2011-2016

Доцент кафедры математического анализа Чеченского государственного университета (ЧГУ).

2016-н.в.

Профессор кафедры прикладной математики и компьютерных технологий (до 2018 – кафедры вычислительной математики и компьютерных технологий) ЧГУ.

Преподавание 

1.    Подготовил ряд новых учебных курсов, из которых наиболее значимые следующие:

  • Управляемые системы с последействием
  • Функционально-дифференциальные уравнения
  • Нелокальные краевые задачи

На их основе были созданы следующие учебные пособия:

  • Л.Е. Россовский. Качественная теория дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, РУДН, Москва, 2008, 190 с.
  • Е.М. Варфоломеев, Л.Е. Россовский. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения к исследованию нейронных сетей и передачи информации нелинейными лазерными системами с обратной связью, РУДН, Москва, 2008, 263 с.    
  • L.Е. Rossovskii. Nonlocal Boundary Value Problems and Functional Differential Equations, РУДН, Москва, 2014, 155 с.    
  • L.E. Rossovskii, A.L. Skubachevskii. Partial Differential Equations. Part I. Function Spaces. Elliptic Problems, РУДН, Москва, 2016, 136 с.        
  • L.E. Rossovskii, A.L. Skubachevskii. Partial Differential Equations. Part II. Evolution Equations, РУДН, Москва, 2016, 105 с.        

2.     В РУДН читает курсы для студентов бакалавриата:

  • «Функциональный анализ» (направление «Прикладная математика и информатика»)
  • «Основы функционального анализа» (Инженерная академия РУДН)
  • «Управляемые системы с последействием» (направление «Прикладная математика и информатика»)

3.    В РУДН читает курсы для студентов магистратуры:

  • «Функционально-дифференциальные уравнения» (направление «Прикладная математика и информатика»)
  • «Нелокальные краевые задачи» (направление «Прикладная математика и информатика»)

4.    С 2011 года преподает на факультете математики и компьютерных технологий Чеченского государственного университета (ЧГУ), в настоящее время читает курс для студентов бакалавриата:

  • «Численные методы» (направление «Прикладная математика и информатика»)

Наука

1.    Разработана теория краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями независимых переменных в старших членах:

  • получены необходимые и достаточные условия коэрцитивности (выполнения неравенства типа Гординга);
  • исследованы однозначная разрешимость и гладкость решений задач Дирихле и Неймана;
  • доказана фредгольмовость общей краевой задачи со сжатиями в пространствах Соболева;
  • получены условия однозначной разрешимости уравнения в весовых пространствах;
  • изучена спектральная устойчивость задачи Неймана по отношению к малым деформациям области;
  • исследована зависимость решений от коэффициентов сжатия, рассмотрено влияние мультипликативно несоизмеримых сжатий на разрешимость и свойства решений краевой задачи.

2.    В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных функционально-дифференциальным уравнениям с растяжениями и сжатиями для функций одной переменной, что вызвано обширными приложениями (так, классическое уравнение пантографа было выведено сразу в нескольких областях: астрофизике, технике, биологии). Кроме того, они являются модельными в классе уравнений с неограниченным запаздыванием. Уравнения же с частными производными, содержащие в старших членах растяжения и сжатия аргументов искомой функции, представляют собой относительно новый объект в теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, а их изучение имеет существенное значение при построении общей теории эллиптических краевых задач для уравнений с бесконечной неизометрической группой сдвигов. С математической точки зрения важной отличительной чертой таких уравнений, оказывающей решающее влияние на методы исследования и свойства решений, является то, что преобразования аргументов порождают внутри области бесконечные орбиты, сгущающиеся вблизи начала координат или координатных осей. В исследовании широко используются современная теория функциональных пространств, теория Гельфанда коммутативных банаховых алгебр, теория псевдодифференциальных операторов. При этом общие подходы, известные для эллиптических уравнений и систем, потребовали существенной модификации. Например, при переходе от постоянных коэффициентов в уравнении к переменным коэффициентам не удается применить известный метод локализации, связанный с «замораживанием» коэффициентов, ввиду отсутствия подходящего разбиения единицы. Был разработан новый подход, основанный на построении специального разложения функционально-дифференциального оператора в классе рассматриваемых функциональных операторов и псевдодифференциальных операторов.

3.    Полученные результаты по эллиптическим уравнениям с растяжениями и сжатиями связаны с рядом принципиально новых моментов. Продемонстрировано возможное наличие бесконечномерных ядра либо коядра оператора краевой задачи, а также наличие негладких решений. Оказалось также, что на фредгольмовость оператора краевой задачи в предположении эллиптичности его локальной части влияют значения коэффициентов уравнения при членах со сжатиями лишь в начале координат. Зависимость решений эллиптических функционально-дифференциальных уравнений от коэффициентов сдвига или сжатия ранее в литературе не рассматривалась. Кроме того, изучение условий равномерной по параметру коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений и уравнений с растяжением и сжатием аргументов показывает, что это свойство не является устойчивым в следующем смысле: коэрцитивность задачи при определенном значении параметра не обеспечивает коэрцитивности задачи в сколь угодно малой окрестности этого значения. На фоне общего развития теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений имеется очень мало содержательных результатов про уравнения с несоизмеримыми сдвигами или сжатиями; выраженные в алгебраической форме результаты о разрешимости для таких уравнений являются одними из первых в этом направлении.

4.    Область применения:

  • функционально-дифференциальные уравнения с аффинными преобразованиями аргумента (т.е. с комбинациями сжатий/растяжений и сдвигов), обобщающие хорошо известное уравнение пантографа, находят применения в самых разных областях: астрофизике, нелинейных колебаниях, биологии, теории чисел, теории вероятностей. Они описывают поглощение света в межзвездной среде, входят в математическую модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава, возникают при изучении процесса роста и деления клеток. Обширное применение находят и эллиптические функционально-дифференциальные уравнения. Сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений описывается упругая модель трехслойной пластины с гофрированным наполнителем (такие пластины находят широкое применение в авиастроении и ракетостроении). К необходимости изучения эллиптических функционально-дифференциальных уравнений приводят нелинейные лазерные системы с двумерной обратной связью, содержащей нелокальные преобразования светового поля, а также ряд задач, возникающих в теории плазмы и теории многомерных диффузионных процессов (полугруппы Феллера).
  • полученные результаты и разработанные методы являются значительным шагом в построении общей теории эллиптических краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечной неизометрической группой сдвигов;
  • выделен новый класс операторов, удовлетворяющий гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора;
  • результаты, полученные для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, являются фундаментом для исследования нелокальных параболических задач, см., например, Л. Е. Россовский, А. Р. Ханалыев. Коэрцитивная разрешимость нелокальных краевых задач для параболических уравнений// Современная математика. Фундаментальные направления, 2016, Т. 62, с. 140–151.

Научные интересы

  • Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения
  • Нелокальные краевые задачи
Рассмотрена система нелинейных параболических уравнений, описывающая эволюцию цветного изображения. Доказаны существование и единственность глобального решения смешанной задачи для этой системы.
Получен ряд необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности для функционально-дифференциального уравнения, содержащего ортотропные сокращения аргумента неизвестной функции в старших членах. Установлены однозначная разрешимость первой краевой задачи, дискретность, полуограниченность и секториальная структура ее спектра.
Рассматривается задача Неймана для эллиптического функционально-дифференциального уравнения с сжатиями и растяжениями аргументов старших производных искомой функции в ограниченной области. Получены оценки для изменения собственных значений оператора задачи при внутренних деформациях области.
L.E. Rossovskii. Boundary value problems for elliptic functional-differential equations with dilatations and compressions of the arguments//Transactions of the Moscow Mathematical Society. – 2001. – V. 62. – С.185-212.
В звездной области рассматривается функционально-дифференциальное уравнение 2m-го порядка со сжатиями аргументов в главной части и переменными коэффициентами. Установлена фредгольмова разрешимость общей краевой задачи.
Предположение о соизмеримости преобразований часто является существенным при изучении разрешимости и регулярности решений эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, в то время как эффекты, основанные на присутствии несоизмеримых преобразований, рассматривались значительно реже. В работе рассматривается уравнение, содержащее мультипликативно несоизмеримые сжатия аргументов неизвестной функции в старших производных. Получены алгебраические условия однозначной разрешимости задачи Дирихле, а также условия, обеспечивающие существование бесконечномерного нуль-пространства. Показано также, что что спектральные свойства функциональных операторов с сжатиями неустойчивы относительно малых возмущений параметров сжатия.
Условия однозначной разрешимости краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения со сдвинутыми и сжатыми аргументами выражаются формулой спектрального радиуса для соответствующего класса функциональных операторов. Использование этой формулы предполагает расчет определенных пределов типа, которые даже в самых простых случаях демонстрируют удивительную “хаотическую” зависимость от степени сжатия. В данной работе мы изучаем эту зависимость.
Изучается задача Дирихле для функционально-дифференциального уравнения, содержащего сдвинутый и сжатый аргумент под знаком Лапласа. Мы устанавливаем условия однозначной разрешимости и показываем также, что задача может иметь бесконечномерное многообразие решений.
В произвольном банаховом пространстве рассматривается нелокальная задача для абстрактного параболического уравнения с линейным неограниченным сильно положительным оператором, область которого не зависит от времени и всюду плотна в этом пространстве. Этот оператор порождает аналитическую полугруппу. Доказана коэрцитивная разрешимость задачи во взвешенном пространстве Гельдера. Ранее этот результат был известен только для постоянных операторов. Рассматриваются приложения в классе параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованием пространственных переменных и в классе параболических уравнений с нелокальными условиями на границе области. Таким образом, это описывает параболические уравнения с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным.
В данной монографии построена теория краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатые и расширенные аргументы высших производных, включая прототипную краевую задачу, сильно эллиптические уравнения, общие краевые задачи для уравнений высокого порядка в пространствах Соболева, разрешимость во взвешенных пространствах и спектральную устойчивость функционально-дифференциальных операторов.
Исследуется разрешимость нового класса функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями аргументов неизвестной функции. Преобразования включают сокращения в одной независимой переменной и расширения в другой. Получены достаточные условия разрешимости таких уравнений во взвешенных пространствах в зависимости от экспоненты пространства. Покажем, как исходная задача сводится к исследованию некоторого разностного уравнения на прямой.
The conditions for the unique solvability of the boundary-value problem for a functional differential equation with shifted and compressed arguments are expressed via the spectral radius formula for the corresponding class of functional operators. The use of this formula involves calculation of certain type limits, which, even in the simplest cases, exhibit an amazing “chaotic” dependence on the compression ratio. For example, it turns out that the spectral radius of the operator L_2(R^n)∋u(x)↦u(p^{−1}x+h)−u(p^{−1}x−h)∈L_2(R^n),p>1,h∈R^n, is equal to 2p^{n/2} for transcendental values of p, and depends on the coefficients of the minimal polynomial for p in the case where p is an algebraic number. In this paper, we study this dependence. The starting point is the well-known statement that, given a velocity vector with rationally independent coordinates, the corresponding linear flow is minimal on the torus, i.e., the trajectory of each point is everywhere dense on the torus. We prove a version of this statement that helps to control the behavior of trajectories also in the case of rationally dependent velocities. Upper and lower bounds for the spectral radius are obtained for various cases of the coefficients of the minimal polynomial for p. The main result of the paper is the exact formula of the spectral radius for rational (and roots of any degree of rational) values of p.
Журавлев Н.Б., Россовский Л.Е. Формула спектрального радиуса для параметрического семейства функциональных операторов // Regul. Chaotic Dyn., 26:4 (2021), 392–401.
Условия однозначной разрешимости краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения со сдвинутыми и сжатыми аргументами выражаются формулой спектрального радиуса для соответствующего класса функциональных операторов. Использование этой формулы предполагает расчет определенных пределов, которые даже в самых простых случаях демонстрируют удивительную «хаотическую» зависимость от степени сжатия. Например, оказывается, что спектральный радиус оператора L_2(R^n)∋u(x)↦u(p^{−1}x+h)−u(p^{−1}x−h)∈L_2(R^n),p>1,h∈R^n, равен 2p^{n/2} для трансцендентных значений p, и зависит от коэффициентов минимального многочлена для p в случае, когда p является алгебраическим числом. В данной работе мы изучаем эту зависимость. Отправной точкой является хорошо известное утверждение о том, что при заданном векторе скорости с рационально независимыми координатами соответствующий линейный поток минимален на торе, т.е. траектория каждой точки на торе везде плотная. Мы доказываем версию этого утверждения, которая помогает управлять поведением траекторий также в случае рационально зависимых скоростей. Получены верхняя и нижняя границы спектрального радиуса для различных случаев коэффициентов минимального многочлена для p. Основным результатом работы является точная формула спектрального радиуса для рациональных (и корней любой степени рациональности) значений p.
Рассматривается задача Дирихле в плоской ограниченной области для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения второго порядка, содержащего в старших производных преобразования аргументов вида x↦px (p>0) и x↦−x. Исследование разрешимости задачи опирается на неравенство типа Гординга, для которого получены необходимые и достаточные условия в алгебраической форме.