Савин Антон Юрьевич
Доктор физико-математических наук
«Служенье муз не терпит суеты… » А.С. Пушкин
1997
Выпускник кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет (МГУ) имени М.В. Ломоносова, специальность – «Прикладная математика».
2000
Кандидатская диссертация на тему «Эллиптические операторы в подпространствах и их приложения», МГУ имени М.В. Ломоносова, научный руководитель – профессор Б.Ю. Стернин.
2007
Победитель конкурса Пьера Делиня для молодых российских математиков.
2012
Докторская диссертация на тему «Теория индекса нелокальных эллиптических задач», Российский университет дружбы народов, научный консультант – профессор Б.Ю. Стернин.
2014
Победитель конкурса фонда Саймонса для математиков преподавателей-исследователей.
Преподавание
1. Подготовил ряд учебных курсов, из которых наиболее значимые следующие:
- «К-теория и теорема Атьи-Зингера об индексе» (Потсдамский университет, 2003) – K-theory and Atiyah-Singer index theorem;
- «Оператор Дирака» (Независимый московский университет, 2005);
- «Элементы вариационного исчисления в целом» (Независимый московский университет, 2006);
- «Дифференциальные уравнения на комплексных многообразиях» (Независимый московский университет, 2015);
- «Методы оптимизации» (РУДН, 2016).
2. В РУДН читает курсы для студентов бакалавриата и магистратуры:
- «Дифференциальные уравнения» (направление «прикладная математика и информатика»);
- «Уравнения математической физики» (направление «прикладная математика и информатика»);
- «Методы оптимизации» (направление «прикладная математика и информатика»);
- «Элементы алгебраической топологии» (специализация «нелинейный анализ, оптимизация и математическое моделирование»).
Наука
- Проводятся исследования по теории эллиптических G-операторов, ассоциированных с представлениями групп. В случае групп сдвигов получены новые формулы индекса; в случае групп Ли показано, что условие эллиптичности необходимо накладывать только на специальном подпространстве кокасательного расслоения (так называемое понятие трансверсальной эллиптичности). Результаты применяются в некоммутативной геометрии, в частности, дано новое доказательство формулы Конна для индекса на некоммутативном торе, предъявлен класс Тодда многообразия в циклических когомологиях скрещенных произведений.
- Рассмотрено приложение методов некоммутативной геометрии в теории краевых задач для гиперболических уравнений с данными на всей границе. Такие задачи сводятся на границу. При этом оператор на границе исследуется методами теории G-операторов. Установлена фредгольмова разрешимость таких задач. Аналогичные задачи нашли приложение в теории квантовых аномалий в работах Бэра, Штромайера, Уолтерса (Bär, Strohmaier, Walters) и др. Поэтому можно ожидать приложений результатов и в этом круге вопросов.
- Дана формула для дробной части эта-инварианта Атьи-Патоди-Зингера (Atiyah-Patodi-Singer) операторов с условием чётности в топологических терминах. А именно, показано, что дробная часть равна индексу зацепления в К-теории. Также предъявлены операторы с нетривиальной дробной частью эта-инварианта. Тем самым решена проблема, поставленная известным американским математиком Питером Гилки (Peter Gilkey). Эта проблема состояла в том, чтобы предъявить операторы чётного порядка на нечётномерных многообразиях с нетривиальной дробной частью эта-инварианта, или доказать, что таких операторов нет.
- Получена гомотопическая классификация эллиптических операторов на стратифицированных многообразиях общего вида в терминах К-гомологий Каспарова. Также получена классификация эллиптических операторов на многообразиях с углами (в смысле Мельроуза (Melrose)). Это даёт важную связь между анализом и топологией и, в частности, позволяет применять к исследованию операторов топологические методы.
- По итогам исследований опубликовано 3 зарубежные монографии и более 70 научных статей. Работы поддерживаются грантами Российского фонда фундаментальных исследований, Немецкого научно-исследовательского общества, Немецкой службы академических обменов.
Научные интересы
- теория индекса эллиптических операторов;
- применение топологических методов для исследования нелокальных эллиптических задач, краевых задач, задач Соболева, уравнений на многообразиях с особенностями и др.
- применение методов некоммутативной геометрии (K-теория, С*-алгебры, циклические гомологии и др.) к задачам эллиптической теории;
- асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений;
- дифференциальные уравнения на комплексных многообразиях и их приложения в геофизике и радиофизике.
Даётся формула для η-инварианта операторов нечётного порядка на чётно-мерных многообразиях и для операторов чётного порядка на нечётно-мерных многообразиях. Найдены операторы второго порядка с нетривиальными η-инвариантами. Тем самым решается проблема, поставленная П. Гилки.
Эллиптические операторы на гладком компактном многообразии классифицируются К-гомологиями. Мы доказываем, что аналогичная классификация также имеет место для многообразий с простейшими особенностям типа конических точек и рёбер. Основными ингредиентами доказательства этих результатов являются разностная конструкция типа Атьи-Зингера в некоммутативном случае и изоморфизм Пуанкаре в К-теории многообразий с особенностями. В качестве приложения мы даём формулу в топологических терминах для препятствия к существованию фредгольмовых задач на многообразиях с рёбрами.
Развивается эллиптическая теория для операторов, ассоциированных с диффеоморфизмом гладкого замкнутого многообразия. Цель работы состоит в том, чтобы получить формулу индекса таких операторов в терминах топологических инвариантов многообразия и символа оператора. Символ в этом случае является элементом некоторого скрещенного произведения. Мы выражаем индекс как спаривание класса в К-теории, определяемого символом, и класса Тодда в периодических циклических когомологиях скрещенного произведения.
Savin A., Schrohe E., Sternin B. Uniformization and Index of Elliptic Operators Associated with Diffeomorphisms of a Manifold // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 22, No. 3, 2015, pp. 410–420
Рассматривается индексная задача для широкого класса нелокальных эллиптических операторов на гладком замкнутом многообразии, а именно дифференциальных операторов со сдвигами, индуцированными действием (не обязательно периодического) изометрического диффеоморфизма. Ключом к решению является метод униформизации. Нелокальной задаче приписывается псевдодифференциальный оператор с тем же индексом, действующий на сечения бесконечномерного векторного расслоения на компактном многообразии. Затем определяется индекс в терминах топологических инвариантов символа, используя теорему индекса Атии-Зингера.
А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин О следах операторов, ассоциированных с действиями компактных групп Ли // Фундамент. и прикл. матем., Т. 21, № 5, 2016, с. 199–218
Для гладкой пары (M,X), состоящей из многообразия M и его подмногообразия X, имеется операция взятия следа, которая каждому оператору на объемлющем многообразии ставит в соответствие его след — некоторый оператор на подмногообразии. В настоящей работе исследуются следы операторов, ассоциированных с действиями компактных групп Ли на многообразии M. Мы устанавливаем, что следы таких операторов сосредоточены на специальных подмногообразиях в X, и исследуем структуру следа в окрестности этих подмногообразий.
А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем. C*-теория // Дифференц. уравнения, Т. 52, 2016, с. 1383–1392
Изучаются краевые задачи с расширением и сжатием на многообразиях с границей. Строятся C∗-алгебру таких задач, порожденных операторами нулевого порядка. Вычисляются траекторные символы элементов этой алгебры, исследуется аналог условия Шапиро-Лопатинского для таких задач и доказывается соответствующая теорема конечности.
А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Гомотопическая классификация эллиптических задач, ассоциированных с действиями дискретных групп на многообразиях с краем // Уфимск. матем. журн., Т. 8, № 3, 2016, с. 126–134
Для действия дискретной группы G на гладком компактном многообразии M с краем рассматривается класс операторов, порожденный псевдодифференциальными операторами на M и операторами сдвига, ассоциированными с действием группы. Для эллиптических операторов из этого класса устанавливается классификация с точностью до стабильных гомотопий и показывается, что группа стабильных гомотопических классов таких задач изоморфна K-группе скрещенного произведения алгебры непрерывных функций на кокасательном расслоении внутренности многообразия и группы G, действующей на этой алгебре автоморфизмами.
А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Эллиптические G-операторы на многообразиях с изолированными особенностями // Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22–29 августа, 2014). Часть 2, СМФН, СМФН, 59, РУДН, М., 2016, с. 173–191
В работе изучаются эллиптические операторы на многообразиях с особенностями в ситуации, когда на многообразии действует дискретная группа G. Как обычно в эллиптической теории, фредгольмовость оператора определяется главным символом. Мы показываем, что в данной ситуации символ является парой, состоящей из символа на основном страте (внутренний символ) и символа в конической точке (конормальный символ). Установлена фредгольмовость эллиптических элементов.
А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Эллиптические дифференциальные задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем // Дифференц. уравнения, Т. 53, № 5, 2017, с. 1383–1392
Дается постановка краевых задач расширения-сжатия на многообразиях с границей в масштабе пространств Соболева. Для таких задач вводится понятие символа и доказывается соответствующая теорема конечности.
Savin A., Sternin B. Introduction to complex theory of differential equations // Birkhäuser, Basel, 2017, 1-128 pp.
Цель книги-объяснить теорию сложных дифференциальных уравнений на комплексном многообразии.
А. Ю. Савин О гомотопической классификации эллиптических задач со сжатиями и K-группах соответствующих C∗-алгебр // СМФН, Т. 64, № 1, 2018, с. 164–179
В работе рассматривается проблема вычисления группы стабильных гомотопических классов псевдодифференциальных эллиптических граничных задач. Указанная проблема исследуется в терминах топологических K-групп некоторых пространств в следующих ситуациях: для краевых задач на многообразии с краем, для задач сопряжения с условиями на замкнутом подмногообразии коразмерности один, а также для нелокальных задач со сжатиями.
Nazaikinskii V. E., Savin A. Yu., Sipailo P. A. Sobolev Problems with Spherical Mean Conditions and Traces of Quantized Canonical Transformations // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 26, 2019, pp. 483–498
Рассматриваются задачи Соболева (задачи для эллиптического оператора на замкнутом многообразии с условиями на замкнутом подмногообразии) для случая, когда эти условия носят нелокальный характер и включают взвешенные сферические средние неизвестной функции над сферами заданного радиуса. Для таких задач устанавливается критерий свойства Фредгольма и в некоторых частных случаях получаются индексные формулы.
Д. А. Полуэктова, А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Об алгебре операторов, отвечающей объединению гладких подмногообразий // Труды Математического института им. С.М. Никольского РУДН, СМФН, 65, № 4, Российский университет дружбы народов, М., 2019, с. 672–682
Для пары гладких трансверсально пересекающихся подмногообразий в некотором объемлющем гладком многообразии исследуется алгебра, порожденная псевдодифференциальными операторами и (ко)граничными операторами, отвечающими подмногообразиям. Устанавливается, что данная алгебра имеет 18 типов порождающих элементов. Для операторов из этой алгебры определяется понятие символа и устанавливается формула композиции.
Izvarina N. R., Savin A. Yu. Complexes in relative elliptic theory // Eurasian Math. J., Vol. 11, No. 4, 2020, pp. 45–57
Для пары (M,X), где X-гладкое подмногообразие в гладком многообразии M, рассмотриваются комплексы операторов, связанных с этой парой. Описывается понятие эллиптичности в этой ситуации и доказывается свойство Фредгольма для эллиптических комплексов. В качестве приложений рассматривается относительный комплекс де Рама и комплекс Дольбо.
Savin A., Schrohe E. Analytic and algebraic indices of elliptic operators associated with discrete groups of quantized canonical transformations // Journal of Functional Analysis, Vol. 278, No. 5, 2020, 108400, 45 pp.
Рассматриваются эллиптические операторы, связанные с дискретными группами квантованных канонических преобразований. Чтобы иметь возможность применять результаты теории алгебраических индексов, определяется локализованный алгебраический индекс полного символа эллиптического оператора. С помощью исчисления квазиклассических квантованных канонических преобразований, версии теоремы Егорова и теоремы об асимптотике следа для квазиклассических интегральных операторов Фурье показано, что локализованный аналитический индекс и локализованный алгебраический индекс совпадают. В качестве следствия выражается индекс Фредгольма в терминах алгебраического индекса для широкого класса групп, в частности для конечных расширений абелевых групп.
We define η-invariants for periodic pseudodifferential operators on the real line and establish their main properties. In particular, it is proved that the η-invariant satisfies logarithmic property and a formula for the derivative of the η-invariant of an operator family with respect to the parameter is obtained. Furthermore, we establish an index formula for elliptic pseudodifferential operators on the real line periodic at infinity. The contribution of infinity to the index formula is given by the constructed η-invariant. Finally, we compute η-invariants of differential operators in terms of the spectrum of their monodromy matrices.
А.Ю. Савин, К.Н., Жуйков. «η-инвариант и индекс для операторов на вещественной прямой, периодической на бесконечности», Eurasian Math. J., Том 12, № 3, 2021, 57–77
Определяются η-инварианты для периодических псевдодифференциальных операторов на вещественной прямой и устанавливаются их основные свойства. В частности, доказано, что η-инвариант удовлетворяет логарифмическому свойству, и получена формула для производной η-инварианта семейства операторов по параметру. Кроме того, устанавливается индексная формула для эллиптических псевдодифференциальных операторов на вещественной прямой, периодической на бесконечности. Вклад бесконечности в формулу индекса задается построенным η-инвариантом. Наконец, вычисляются η-инварианты дифференциальных операторов в терминах спектра их матриц монодромии.
На гладком замкнутом многообразии рассматривается семейство операторов вида линейной комбинации псевдодифференциальных операторов с параметром с периодическими коэффициентами. Такие семейства возникают при исследовании нелокальных эллиптических задач на многообразиях с изолированными особенностями и/или с цилиндрическими концами. Цель работы — построить η-инвариант для обратимых семейств и установить его свойства. Мы следуем подходу Мельроуза, который рассматривал η-инвариант как обобщение числа вращения, равного интегралу от следа логарифмической производной семейства. При этом η-инвариант Мельроуза равен регуляризованному интегралу регуляризованного следа логарифмической производной семейства. В нашей ситуации для регуляризации следа используется оператор разностного дифференцирования (вместо обычного дифференцирования у Мельроуза). Основным техническим результатом является тот факт, что оператор разностного дифференцирования осуществляет изоморфизм между пространствами функций с конормальной асимптотикой на бесконечности, что и позволяет определить регуляризованный след. Поскольку полученный регуляризованный след может возрастать на бесконечности, также вводится регуляризация для интеграла. Наша регуляризация интеграла включает операцию усреднения. Далее устанавливаются основные свойства η-инварианта. А именно, η-инвариант в смысле данной работы удовлетворяет логарифмическому свойству, а также является обобщением η-инварианта Мельроуза, т.е. совпадает с последним в случае обычных псевдодифференциальных операторов с параметром. Наконец, предъявляется формула для вариации η-инварианта при изменении семейства.
Исследуются η-инварианты для класса нелокальных операторов с параметром, ассоциированных с изометрическим действием дискретной группы степенного роста на гладком замкнутом многообразии. η-инвариант определяется как регуляризация числа вращения. Получена формула для вариации η-инварианта при изменении оператора. Результаты основаны на исследовании асимптотических разложений следов нелокальных операторов с параметром.
Изучается фредгольмова разрешимость нового класса нелокальных краевых задач, связанных с действиями групп на гладких многообразиях. А именно, мы рассматриваем случай, когда действие группы определено на объемлющем многообразии без края и не сохраняет подмногообразие с краем, на котором ставится задача. В частности, действие группы не отображает край на себя. Орбиты границы под действием группы разбивают многообразие на подобласти, и это разложение в сочетании с техникой C∗-алгебр и псевдодифференциальных операторов играет важную роль в нашем подходе к решению задачи.