Севастьянов Леонид Антонович

Реализован новый алгоритм численного решения одномерных задач Коши и уравнений Пуассона, основанный на методе коллокации и представлении решения в виде разложения по полиномам Чебышева. Предлагается вместо обычного подхода, заключающегося в слиянии всех известных условий — дифференциальных (само уравнение) и начальных/граничных — в одну систему приближенных линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), перейти к методике решения задачи в несколько отдельных этапов. Вначале выделяются спектральные коэффициенты, определяющие «общее» решение исходной задачи. На втором этапе учет начальных/граничных условий выделяет «частное» искомое решение, однозначно доопределяя недостающие коэффициенты искомого разложения.

Умение вычислять интегралы быстро осциллирующих функций имеет решающее значение для решения многих задач оптики, электродинамики, квантовой механики, ядерной физики и многих других областей. В статье рассматривается метод вычисления быстроосциллирующих интегралов методом перехода к численному решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Методом коллокации Левина задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Регуляризованный алгоритм описывает устойчивый метод интегрирования быстро осциллирующих функций при наличии стационарных точек.

В работе рассматривается задача дифракции электромагнитного TE-поляризованного монохроматического излучения на трёхмерном утолщении волноводного слоя регулярного планарного трёхслойного диэлектрического волновода, формирующем тонкоплёночную волноводную линзу. Предлагается приближенная математическая модель, в которой открытый волновод рассматривается внутри вспомогательного закрытого волновода, приводящая к корректной математической постановке задачи дифракции. В работе показано, что параметры направляемых мод открытого волновода устойчивы к сдвигам границ объемлющего закрытого волновода. Следовательно, предлагаемый подход адекватно описывает распространение поляризованного света в открытом плавнонерегулярном волноводе. За счёт локального утолщения волноводного слоя возникает эффект деполяризации излучения, который требует рассмотрения векторного характера распространяющегося электромагнитного излучения. В работе задача дифракции решается в адиабатическом приближении по малому параметру, соответствующему нерегулярности. Проведение численных экспериментов позволило показать, что с уменьшением малого параметра матрица коэффициентов отражения стремится к нулю, а матрица коэффициентов прохождения стремится к единичной матрице. Причём обменные вклады, которым соответствуют недиагональные элементы матриц, стремятся к нулю на порядок быстрее, чем диагональные члены. Так что, эффектами деполяризации в рассматриваемой конфигурации можно пренебречь.

Рассмотрено применение метода адиабатических волноводных мод, учитывающего трехмерное распространение квазиволноводных мод и точные («наклонные») тангенциальные граничные условия, для расчета распространения электромагнитного излучения в трехмерных нерегулярных интегрально-оптических волноводах. Возможности метода продемонстрированы на примере численного исследования методом адиабатических мод и методом волноводов сравнения двух важнейших элементов интегральной оптики – волновода типа «рупор» и тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга.

Предложена вероятностная схема исследования процесса экранируемого вакуумного напыления. Результирующая модель эквивалентна геометрооптической модели, но дает возможность усовершенствования модели. Математическая модель экранируемого напыления представляет собой интегральное уравнение. Свойства интегрального оператора этих задач позволяют устойчиво решать вспомогательные и основную обратные задачи. Кроме того, методы их решения позволяют с заданной точностью решить основную задачу.