Вырожденная нелинейная эйнштейновская модель броуновского движения в потоках жидкости и хемотаксисе

Моделирование движения ансамбля живых организмов в направлении химических агентов (субстратов) на основе системы эволюционных уравнений с анти-диффузией. Будет использован метод броуновского движения Эйнштейна, чтобы вывести хемотаксическую модель, которая обладает решением в виде бегущей волны. Классическая модель Эйнштейна броуновского процесса таким свойством не обладает. Насколько известно, это был первый случай, когда метод Эйнштейна был использован для обоснования уравнений, описывающих взаимное взаимодействие хемотаксической системы. При наличии ограниченного и неограниченного субстрата возможны бегущие волны типа колоколообразной формы или типа «КПП полочки». Также изучат устойчивость постоянных стационарных состояний системы. В ходе исследования получили линеаризованную систему относительно установившегося состояния. Удалось найти явные условия линейной неустойчивости и устойчивости при однородных граничных условиях. Дана биологическая интерпретация полученному результату.

Модификация модели Эйнштейна путем введения зависимости матрицы диффузии от концентрации частиц. Предполагая исчезновение диффузии для малых концентраций, модифицированная модель успешно разрешает парадокс и устанавливает существование конечной скорости распространения. Однако недавние достижения в области случайных процессов устранили парадокс, связанный с этой моделью. В частности, она предсказывает бесконечную скорость распространения, что противоречит второму началу термодинамики. Поэтому подход ученого расширяет модель Эйнштейна, интегрируя существенную модификацию, которая разрешает парадокс. Эта модификация позволяет более точно описать поведение нелинейных потоков в пористых средах, сохраняя при этом соблюдение фундаментальных принципов термодинамики. Метод, который используется в этом анализе, включает методы характерные для нелинейного вырождающегося параболического уравнения в частных производных в дивергентной форме.